Pregunta 1. Dibuja un cuadrilátero en el plano cartesiano, cuyos vértices sean (– 4, 5), (0, 7), (5, – 5) y (– 4, –2). Además, encuentre su área.
Solución:
Consideremos el cuadrilátero ABCD con vértices A (-4,5), B (0,7), C (5,-5) y D (-4,-2).
Después de graficar los puntos en el plano cartesiano, obtenemos el cuadrilátero requerido:
Construcción : Unión diagonal AC
Área (ABCD) = área (∆ABC) + área (∆ADC)
Entonces, el área del triángulo con vértices (x 1 ,y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 ,y 3 ) es
= |½ [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]|
Asi que,
Área (∆ABC) = |½ [-4 (7 + 5) + 0 (-5 – 5) + 5 (5 – 7)] |
= |½ [-4 (12) + 5 (-2)] |
= |½ [-48 -10)] |
= | ½ (58) |
= 29 m2 unidad
Área (∆ACD) = |½ [-4 (-5 + 2) + 5 (-2 – 5) + (-4) (5 – (-5))]|
= |½ [-4 (-3) + 5 (-7) – 4 (10)]|
= |½ [-12 + -35 – 40]|
= |½ (-63)|
= 63/2 unidad cuadrada
Área (ABCD) = 29 + 63/2
= 121/2 unidad cuadrada
Pregunta 2. La base de un triángulo equilátero con lado 2a se encuentra a lo largo del eje y, de modo que el punto medio de la base está en el origen. Encuentra los vértices del triángulo.
Solución:
Consideremos ∆ABC, que es un triángulo equilátero de lado 2a.
Donde, AB = BC = AC = 2a
Como en la figura, asumimos BC como base, donde el origen se convierte en el punto medio de BC. Entonces, podemos concluir que
Las coordenadas del punto C son (0, a) y las de B son (0,-a) .
Y como el origen es el punto medio, la línea que une el vértice y el origen se encuentra en el eje x. (x-axix ⊥ eje y)
(AC) 2 = OA 2 + OC 2 (teorema de Pitágoras)
(2a) 2 = a 2 + OA 2
4a 2 – a 2 = OA 2
OA 2 = 3a 2
AO =√3a
Coordenadas del punto A = ± (√3a, 0)
∴ Los vértices del triángulo equilátero dado son (0, a), (0, -a), (√3a, 0) O (0, a), (0, -a) y (-√3a, 0)
Pregunta 3. Encuentra la distancia entre P (x 1 , y 1 ) y Q (x 2 , y 2 ) cuando:
(i) PQ es paralelo al eje y,
(ii) PQ es paralelo al eje x.
Solución:
(i) Cuando PQ es paralelo al eje y, entonces las coordenadas x serán las mismas.
entonces, x 1 = x 2
Distancia entre puntos PQ = √((x 1 -x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 )
= √(y 1 -y 2 ) 2 (Como x 1 =x 2 )
= |y 1 -y 2 |
(ii)
Cuando PQ es paralelo al eje x, entonces, las coordenadas y serán las mismas.
entonces, y 1 = y 2
Distancia entre puntos PQ = √((x 1 -x 2 )2 + (y 1 -y 2 ) 2 )
= √(x 1 -x 2 ) 2 (Como y 1 =y 2 )
= |x 1 -x 2 |
Pregunta 4. Encuentra un punto en el eje x, que sea equidistante de los puntos (7, 6) y (3, 4).
Solución:
Como se menciona, estos puntos A y B son equidistantes de un punto P en el eje x.
Tomemos P como (a, 0).
Distancia AP = Distancia BP
Distancia entre dos puntos (x 1 ,y 1 ) y (x 2 ,y 2 )= √((x 1 -x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 )
asi que,
√((3-a) 2 + (4-0) 2 ) = √((7-a) 2 + (6-0) 2 )
√((3-a) 2 + 16) = √((7-a) 2 + 36)
√(9-6a+a 2 +16) = √(49-14a+a 2 +36)
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos
un 2 – 6a + 25 = un 2 – 14a + 85
-8a = -60
a = 15/2
Por lo tanto, el punto en el eje x, que es equidistante de los puntos (7, 6) y (3, 4) es (15/2,0)
Pregunta 5. Encuentra la pendiente de una línea que pasa por el origen y el punto medio del segmento de línea que une los puntos P (0, – 4) y B (8, 0).
Solución:
Sean (x,y) las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une los puntos P (0, – 4) y B (8, 0), entonces
x = (0+8)/2 = 4
y = (-4+0)/2 = -2
El punto medio es (4,-2)
Como La pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (x 1 ,y 1 ) y (x 2 ,y 2 ) se dará como
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 ) donde, (x 2 ≠ x 1 )
Ahora, la pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (4,-2) y el origen (0,0) será
metro = (4-0)/(-2-0) = 4/-2 = -1/2
Por lo tanto, la pendiente requerida es -1/2.
Pregunta 6. Sin usar el teorema de Pitágoras, demuestre que los puntos (4, 4), (3, 5) y (–1, –1) son los vértices de un triángulo rectángulo.
Solución:
Como los vértices del triángulo dado son (4, 4), (3, 5) y (–1, –1).
Como La pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (x 1 ,y 1 ) y (x 2 ,y 2 ) se dará como
m = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 ) donde, (x 2 ≠ x 1 )
Sea m 1 la pendiente de la recta AB, entonces
m 1 = (4 –(-1))/(4 –(-1)) = 1 ……………….(1)
Sea m 2 la pendiente de la recta BC, entonces
m2 = (3-4)/(5-4) = -1 …………………….(2)
Sea m 3 la pendiente de la recta AC, entonces
m3 = ( 5 -(-1))/(3-(-1)) = 6/4 = 3/2 ………………..(3)
De (1) y (2), podemos concluir
m 1 .m 2 = -1.1 = -1
Por tanto, las rectas AB y BC son perpendiculares entre sí.
Por lo tanto, el triángulo dado es rectángulo en B (4, 4)
Pregunta 7. Encuentra la pendiente de la línea, que forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje y medido en sentido antihorario.
Solución:
Sabemos que si una recta forma un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje y medida en sentido antihorario, entonces el ángulo formado por la recta con la dirección positiva del eje x medida en sentido antihorario es
90° + 30° = 120°
∴ La pendiente de la recta dada es
bronceado(120°) = bronceado (180° – 60°)
= – bronceado 60°
= –√3
Pregunta 8. Encuentra el valor de x para el cual los puntos (x, – 1), (2,1) y (4, 5) son colineales.
Solución:
Si los puntos (x, – 1), (2, 1) y (4, 5) son colineales, entonces
Pendiente de AB = Pendiente de BC
Pendiente de AB = (1-(-1))/(2-x)
= 2/(2-x) ……………….(1)
Pendiente de BC = (5-1)/(4-2)
= 4/2
= 2 ………………..(2)
de (1) y (2)
2 = 2(2-x)
2 = 4 – 2x
2x = 4 – 2
2x = 2
x = 2/2
= 1
Por lo tanto, el valor requerido de x es 1.
Pregunta 9. Sin usar la fórmula de la distancia, muestra que los puntos (– 2, – 1), (4, 0), (3, 3) y (–3, 2) son los vértices de un paralelogramo.
Solución:
Sea el punto dado A (4, 0), B (3, 3) C (-3, 2) y D (-2, -1) del cuadrilátero.
Ahora, la pendiente de AD = (0-(-1))/(4-(-2)) = 1/6
La pendiente de BC = (3-2)/(3-(-3)) = 1/6
Por lo tanto, pendiente de AD = Pendiente de BC
Por tanto, AD ∥ BC ……………………..(1)
Ahora,
La pendiente de AB = (3-0)/(3-4) = 3/-1 = -3
La pendiente de CD = (2-(-1))/(-3-(-2)) = 3/-1 = -3
Por lo tanto, pendiente de AB = Pendiente de CD
Por lo tanto, AB ∥ CD ……………………(2)
Por lo tanto, de (1) y (2), podemos concluir que
El par de lados opuestos son cuadriláteros son paralelos, entonces podemos decir que ABCD es un paralelogramo.
Por tanto, los vértices dados A (4, 0), B (3, 3) C (-3, 2) y D (-2, -1) son vértices de un paralelogramo.
Pregunta 10. Encuentra el ángulo entre el eje x y la línea que une los puntos (3,–1) y (4,–2).
Solución:
Como La pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (x1,y1) y (x2,y2) se dará como
m = (y2 – y1)/(x2 – x1) donde, (x2 ≠ x1)
Ahora, la pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (3,–1) y (4,–2) será
metro = (-2 –(-1))/(4-3)
= (-2+1)/(4-3)
= -1/1
= -1
como, m = tan θ
tan θ = -1
θ = (90° + 45°) = 135°
Por lo tanto, el ángulo entre el eje x y la línea que une los puntos (3, –1) y (4, –2) es de 135°.
Pregunta 11. La pendiente de una recta es el doble de la pendiente de otra recta. Si la tangente del ángulo entre ellos es 1/3, encuentre las pendientes de las rectas.
Solución:
Consideremos ‘m1’ y ‘m’ como la pendiente de las dos rectas dadas tal que m1 = 2m y,
tan θ = 1/3
Sabemos que si θ es el ángulo entre las rectas l1 y l2 con pendiente m1 y m2, entonces
tan θ = |(m2-m1) /(1+m1m2)|
así que aquí,
1/3 = |(2m-m) /(1+2m 2 )|
1/3 = |m/(1+2m 2 )|
1/3 = ± (m/(1+2m 2 ))
Entonces tomando, CASO 1
1/3 = + (m/(1+2m 2 ))
2m 2 – 3m + 1 = 0
2m 2 – 2m – m + 1 = 0
2m (m – 1) – 1 (m – 1) = 0
m = 1 o 1/2 ……………..(1)
Y ahora, resolviendo el CASO 2
1/3 = – (m/(1+2m 2 ))
1+2m 2 = -3m
2m 2 +1 +3m = 0
2m (m+1) + 1(m+1) = 0
(2m+1) (m+1)= 0
m = -1 o -1/2 ………………………(2)
De (1) y (2) podemos concluir que,
Los pares de pendientes pueden ser (1 y 2), (-1 y -2), (1 y 1/2) y (-1 y -1/2).
Pregunta 12. Una recta pasa por (x1, y1) y (h, k). Si la pendiente de la recta es m, demuestre que
k – y1 = metro (h – x1)
Solución:
Como se da eso, la pendiente de la recta es ‘m’
La pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (h, k) es (k – y1)/(h – x1)
Asi que,
m = (k – y1)/(h – x1)
(k – y1) = metro (h – x1)
Por lo tanto, probado.
Pregunta 13. Si tres puntos (h, 0), (a, b) y (0, k) están en una recta, demuestra que a/h + b/k = 1.
Solución:
Si los puntos dados A (h, 0), B (a, b) y C (0, k) se encuentran en una línea, entonces,
Pendiente de AB = pendiente de BC
(b – 0)/(a – h) = (k – b)/(0 – a)
Simplificando, obtenemos
-ab = (kb) (ah)
-ab = ka-kh –ab +bh
ka + bh = kh
Divida ambos lados por kh obtenemos,
ka/kh + bh/kh = kh/kh
a/h + b/k = 1
Por lo tanto, probado.
Pregunta 14. Considere el siguiente gráfico de población y año (Fig. 10.10), encuentre la pendiente de la línea AB y, usándola, encuentre cuál será la población en el año 2010.
Solución:
Como La pendiente ‘m’ de la recta que pasa por el punto (x1,y1) y (x2,y2) se dará como
m = (y2 – y1)/(x2 – x1) donde, (x2 ≠ x1)
Entonces, la pendiente ‘m’ de la línea que pasa por el punto (1985,92) y (1995,97) será dada como
m = (97 – 92)/(1995 – 1985) = 5/10 = 1/2
Sea ‘y’ la población en el año 2010. Entonces, según la gráfica dada, AB debe pasar por el punto C (2010, y).
pendiente de AB = pendiente de BC
1/2 = (año-97)/(2010-1995)
15/2 = y – 97
y = 7,5 + 97 = 104,5
Por lo tanto, la pendiente de la línea AB es 1/2 y
En el año 2010 la población será de 104,5 millones de rupias.
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA