Capítulo 10 Líneas rectas – Ejercicio 10.2 | Serie 1
Pregunta 11. Una recta perpendicular al segmento de recta que une los puntos (1, 0) y (2, 3) lo divide en la razón 1:n. Encuentra la ecuación de la recta.
Solución:
La pendiente del segmento de línea será m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1)
= (3 – 0)/(2 – 1)
= 3/1
= 3
Si dos líneas son perpendiculares entre sí que la pendiente de la línea 1 X la pendiente de la línea 2 = -1
Entonces, la pendiente de la línea será m2 = (-1/m1)
m2 = -1/3
Como sabemos que las coordenadas de un punto (p, q) que divide la recta
segmento que une los puntos (x1, y1) y (x2, y2) internamente
En la razón m : n son:
(p, q) = ((mx2 + nx1)/(m + n), (my2 + ny1)/(m + n))
(p, q) = ((1 × 2 + n × 1)/(1 + n), (1 × 3 + n × 0)/(1 + n))
p = (2 + n)/(1 + n)
q = 3/(1 + n)
Sabemos que el punto (p, q) se encuentra en la recta de pendiente m2,
La ecuación de la recta será y – q = m2(x – p)
y – 3/(1 + n) = (–1/3)(x – (2 + n)/(1 + n))
3((1 + n) y – 3) = (–(1 + n) x + 2 + n)
3(1 + n) y – 9 = – (1 + n) x + 2 + n
(1 + n) x + 3(1 + n) y – n – 9 – 2 = 0
(1 + norte) x + 3(1 + norte) y – norte – 11 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es (1 + n) x + 3(1 + n) y – n – 11 = 0
Pregunta 12. Encuentra la ecuación de una línea que corta intersecciones iguales en los ejes de coordenadas y pasa por el punto (2, 3).
Solución:
Dado que la línea corta intersecciones iguales en los ejes de coordenadas, es decir, a = b.
Entonces, la ecuación de la recta intercepta a y b en los ejes x e y, respectivamente, lo cual es
x/a + y/b = 1
Entonces, x/a + y/a = 1
x + y = un -(1)
El punto dado es (2, 3)
2 + 3 = un
un = 5
Al sustituir el valor de ‘a’ en la ecuación (1), obtenemos
x + y = 5
x + y – 5 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es x + y – 5 = 0.
Pregunta 13. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto (2, 2) y corta las intersecciones en los ejes cuya suma es 9.
Solución:
La ecuación de la línea que hace las intersecciones a y b en los ejes x e y, respectivamente, es
x/a + y/b = 1 -(1)
Dado que la suma de las intersecciones = 9
a + b = 9
b = 9 – un
Al sustituir el valor de b en la ecuación(1), obtenemos
x/a + y/(9 – a) = 1
Dado que la recta pasa por el punto (2, 2),
Entonces, 2/a + 2/(9 – a) = 1
[2(9 – a) + 2a] / a(9 – a) = 1
[18 – 2a + 2a] / a(9 – a) = 1
18/a(9 – a) = 1
18 = un (9 – un)
18 = 9a – un 2
un 2 – 9a + 18 = 0
Usando el método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas, obtenemos
a2 – 3a – 6a + 18 = 0
un (un – 3) – 6 (un – 3) = 0
(un – 3) (un – 6) = 0
a = 3 o a = 6
Sustituyamos en la ecuación (1),
Caso 1 (a = 3):
Entonces b = 9 – 3 = 6
x/3 + y/6 = 1
2x + y = 6
2x + y – 6 = 0
Caso 2 (a = 6):
Entonces b = 9 – 6 = 3
x/6 + y/3 = 1
x + 2y = 6
x + 2y – 6 = 0
Entonces, la ecuación de la línea es 2x + y – 6 = 0 o x + 2y – 6 = 0
Pregunta 14. Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto (0, 2) que forma un ángulo de 2π/3 con el eje x positivo. Además, encuentre la ecuación de la línea paralela a ella y que cruza el eje y a una distancia de 2 unidades por debajo del origen.
Solución:
Dado que
Punto (0, 2) y θ = 2π/3
pendiente (m)= tan θ
m = bronceado (2π/3) = -√3
Ahora, la ecuación de la recta que pasa por el punto (p,q) con pendiente m será:
y – q = m (x – p)
y – 2 = -√3 (x – 0)
y – 2 = -√3x
√3 x + y – 2 = 0
Ahora necesitamos encontrar la ecuación de la línea paralela a la ecuación obtenida arriba
cruza el eje y a una distancia de 2 unidades por debajo del origen.
Entonces, el punto = (0, -2) y para la pendiente de la línea paralela será el mismo que es m = -√3
De la ecuación de forma de punto pendiente,
y – (–2) = –√3 (x – 0)
y + 2 = -√3x
√3 x + y + 2 = 0
Entonces, la ecuación de la línea es √3 x + y – 2 = 0 y la línea paralela a ella es √3 x + y + 2 = 0.
Pregunta 15. La perpendicular desde el origen a una línea la encuentra en el punto (–2, 9), encuentra la ecuación de la línea.
Solución:
La línea perpendicular pasará por los puntos (0,0) y (-2,9) según la pregunta dada,
Entonces la pendiente de la línea perpendicular será m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1)
= (9 – 0)/(–2 – 0)
= –9/2
Como sabemos que dos rectas no verticales son perpendiculares entre sí
otra si sus pendientes son recíprocas negativas entre sí.
Entonces, necesitamos encontrar la ecuación de la línea, digamos AB.
La pendiente de la línea AB será m = (–1/m1) = –1/(–9/2) = 2/9
Como recta perpendicular y recta que se corta en (–2, 9), eso significa que (–2, 9) se encuentra en la recta AB
Al usar la forma de punto de pendiente de la línea, obtenemos
y – y1 = metro (x – x1)
y – 9 = (2/9) (x – (–2))
9(y – 9) = 2(x + 2)
9y – 81 = 2x + 4
2x + 4 – 9y + 81 = 0
2x – 9y + 85 = 0
Entonces, la ecuación de la línea es 2x – 9y + 85 = 0.
Pregunta 16. La longitud L (en centímetros) de una barra de cobre es una función lineal de su temperatura Celsius C. En un experimento, si L = 124.942 cuando C = 20 y L= 125.134 cuando C = 110, exprese L en términos de C.
Solución:
Consideremos ‘L’ a lo largo del eje X y ‘C’ a lo largo del eje Y,
Entonces, tenemos dos puntos (124.942, 20) y (125.134, 110) en el plano XY.
Como sabemos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) viene dada por
0.192(C-20) = 90(L – 124.942)
L puede expresarse en términos de C de la siguiente manera
L = (0,192 × (C – 20)/90) + 124,942
Pregunta 17. El propietario de una tienda de leche descubre que puede vender 980 litros de leche cada semana a Rs. 14/litro y 1220 litros de leche cada semana a Rs. 16/litro. Suponiendo una relación lineal entre el precio de venta y la demanda, ¿cuántos litros podría vender semanalmente a Rs. 17/litro?
Solución:
Consideremos que la relación entre el precio de venta y la demanda es lineal.
Entonces, el precio de venta por litro en el eje X y la demanda en el eje Y,
Tenemos dos puntos (14, 980) y (16, 1220) en el plano XY
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por
y-980 = 120 (x-14)
y = 120 (x – 14) + 980
Cuando x = 17 rupias/litro,
y = 120 (17 – 14) + 980
y = 120(3) + 980
y = 360 + 980 = 1340
Entonces, el propietario puede vender 1340 litros semanalmente a Rs. 17/litro.
Pregunta 18. P (a, b) es el punto medio de un segmento de línea entre ejes. Demostrar que la ecuación de la recta es x/a + y/b = 2
Solución:
Consideremos AB como un segmento de recta cuyo punto medio es P (a, b).
Entonces, las coordenadas de A son (0, y) y B es (x, 0)
El punto medio de AB será P(a, b) = ((x + 0)/2, (y + 0)/2)
a = x/2
x = 2a
Y
b = y/2
y = 2b
Eso significa que la línea AB pasa de (0, 2b) y (2a, 0)
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por
(y – 2b) = ((0 – 2b)/2a) × x
a (y – 2b) = –bx
ay – 2ab = –bx
bx + ay = 2ab
Al dividir ambos lados con ab, obtenemos
x/a + y/b =2
Pregunta 19. El punto R (h, k) divide un segmento de línea entre los ejes en la relación 1: 2. Encuentra la ecuación de la línea.
Solución:
Consideremos, PQ ser el segmento de recta tal que r (h, k) lo divide en la razón 1:2.
Entonces las coordenadas de P y Q son (0, y) y (x, 0) respectivamente.
Sabemos que las coordenadas de un punto que divide el segmento de recta
une los puntos (x1, y1) y (x2, y2) internamente en la razón m: n es
(h, k) = ((mx2 + nx1)/(m + n), (my2 + ny1)/(m + n))
(h, k) = ((1 × 0 + 2 × x)/(1 + 2), (1 × y + 2 × 0)/(1 + 2))
h = 2x/3 y k = y/3
x = 3h/2 y y = 3k
Entonces, P = (0, 3k) y Q = (3h/2, 0)
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por
y – 3k = ((0 – 3k)/(3h/2))x
3h(y – 3k) = –6kx
3hy – 9hk = –6kx
6kx + 3hy = 9hk
Al dividir ambos lados por 9hk, obtenemos,
2x/3h + y/3k = 1
Entonces, la ecuación de la línea está dada por 2x/3h + y/3k = 1
Pregunta 20. Utilizando el concepto de ecuación de una línea, demuestre que los tres puntos (3, 0), (– 2, – 2) y (8, 2) son colineales.
Solución:
Demostrar que los tres puntos dados (3, 0), (– 2, – 2) y (8, 2) son colineales,
Entonces, también tenemos que probar que la línea que pasa por los puntos
(3, 0) y (– 2, – 2) también pasa por el punto (8, 2).
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) viene dada por
y – 0 = ((–2 – 0)/(–2 – 3)) × (x – 3)
–5y = –2 (x – 3)
–5y = –2x + 6
2x – 5y = 6
Comprobando si (8,2) está en la línea 2x – 5y = 6 o no,
IZQ = 2x – 5y = 2(8) – 5(2)
= 16 – 10
= 6
= lado derecho
Entonces, la recta que pasa por los puntos (3, 0) y (– 2, – 2)
también pasa por el punto (8, 2).
Por tanto, demostrado que los puntos (3, 0), (– 2, – 2) y (8, 2) son colineales,
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Artículo escrito por karnalrohit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA