En los ejercicios 1 a 8, encuentre la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas:
Pregunta 1. Escribe las ecuaciones para los ejes x e y.
Solución:
La coordenada y de cada punto en el eje x es 0 y la coordenada x de cada punto en el eje y es 0
Entonces, la ecuación del eje x es y = 0 y la ecuación del eje y es y = 0.
Pregunta 2. Pasando por el punto (– 4, 3) con pendiente 1/2.
Solución:
Dado que el punto p(x1, y1) es (-4, 3) y la pendiente m = 1/2
La ecuación de la línea se puede derivar mediante la fórmula y – y1 = m (x – x1),
Donde m es la pendiente de la línea y (x1, y1) es la coordenada de p desde donde pasa la línea.
y-3 = 1/2(x-(-4))
y – 3 = 1/2 (x + 4)
2(y – 3) = x + 4
2y – 6 = x + 4
x + 4 – (2y – 6) = 0
x + 4 – 2y + 6 = 0
x – 2y + 10 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es x – 2y + 10 = 0.
Pregunta 3. Pasando por (0, 0) con pendiente m.
Solución:
Dado que el Punto p(x1, y1) es (0, 0) y la pendiente es m.
Entonces, la ecuación de la línea se puede derivar mediante la fórmula y – y1 = m (x – x1),
Donde m es la pendiente de la línea y (x1, y1) es la coordenada desde donde pasa la línea.
Entonces, y – 0 = m (x – 0)
y = mx
y-mx = 0
Entonces, la ecuación de la recta es y – mx = 0.
Pregunta 4. Pasando por (2, 2√3) e inclinado con el eje x en un ángulo de 75 o .
Solución:
Dado que el punto p(x1, y1) es (2, 2√3) y θ = 75°
Entonces, la ecuación de la recta es (y – y1) = m (x – x1)
donde, m = pendiente de la línea = tan θ y (x1, y1) son los puntos por donde pasa la línea
Entonces, m = tan 75°
Ahora, encontrando tan 75° usando la siguiente fórmula:
tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 – tanA.tanB)
bronceado 75° = bronceado(45° + 30°)
bronceado 75° = (bronceado 45° + bronceado 30°)/(1 – bronceado 30°.bronceado 45°)
tan 75° = (1 + 1/√3)/(1 – 1/√3)
tan 75° = (√3 + 1)/(√3 – 1)
Racionalizando obtenemos
tan 75° = 2 + √3
La ecuación de la recta será,
(y – 2√3) = (2 + √3)(x – 2)
y – 2√3 = 2 x – 4 + √3x – 2 √3
y = 2x – 4 + √3x
(2 + √3)x – y – 4 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es (2 + √3)x – y – 4 = 0.
Pregunta 5. Intersección del eje x a una distancia de 3 unidades a la izquierda del origen con pendiente –2.
Solución:
Dado que Pendiente m = –2, x-intersección = 3,
eso significa que la línea pasa desde el punto p (x1, y1) que es (3, 0)
La ecuación de la recta será
y – 0 = (–2) × (x – 3).
y = (–2) × (x + 3)
y = –2x – 6
2x + y + 6 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es 2x + y + 6 = 0.
Pregunta 6. Intersecar el eje y a una distancia de 2 unidades por encima del origen y formar un ángulo de 30° con la dirección positiva del eje x.
Solución:
Dado que θ = 30°, entonces la pendiente (m) será = tan θ
m = tan30° = (1/√3)
Como la intercepción de Y es 2, eso significa que la línea pasa desde (0, 2) punto p (x1, y1) = (0, 2)
La ecuación de la línea será
y – 2 = (1/√3)x
y = (1/√3)x + 2
y = (x + 2√3) / √3
√3 y = x + 2√3
x – √3 y + 2√3 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es x – √3 y + 2√3 = 0.
Pregunta 7. Pasando por los puntos (–1, 1) y (2, – 4).
Solución:
Dado que el punto p1(x1, y1) es (–1, 1) y el punto p2(x2, y2) es (2, –4),
Se menciona en cuestión que la línea pasa de p1 y p2.
Eso significa que la Pendiente (m) de la línea será (y2 – y1)/(x2 – x1)
m = (–4 – 1)/(2 – (–1))
m = –5/3
La ecuación de la línea será
(y – y1) = m(x – x1)
y – 1 = –5/3 (x + 1)
3 (y – 1) = (–5)(x + 1)
3y – 3 = –5x – 5
3y – 3 + 5x + 5 = 0
5x + 3y + 2 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es 5x + 3y + 2 = 0.
Pregunta 8. La distancia perpendicular desde el origen es de 5 unidades y el ángulo que forma la perpendicular con el eje x positivo es de 30°.
Solución:
Dado que p = 5 y ω = 30°
Sabemos que la ecuación de la recta que tiene una distancia normal p desde el origen y
El ángulo ω que forma la normal con la dirección positiva del eje x está dado por x cos ω + y sen ω = p.
Al sustituir los valores en la ecuación, obtenemos
x cos30° + y sen30° = 5
x(√3 / 2) + y(1/2) = 5
√3 x + y = 5(2) = 10
√3 x + y – 10 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es √3 x + y – 10 = 0.
Pregunta 9. Los vértices de ΔPQR son P (2, 1), Q (–2, 3) y R (4, 5). Encuentra la ecuación de la mediana a través del vértice R.
Solución:
Dados Vértices de ΔPQR que son P (2, 1), Q (–2, 3) y R (4, 5)
Sea RS la mediana del vértice R => S es un punto medio de PQ.
Como S es el punto medio de PQ => S = (P + Q)/2
S = (2 – 2, 1 + 3)/2
S = (0, 2)
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) viene dada por
y – 5 = –3/ –4(x – 4)
(–4)(y – 5) = (–3)(x – 4)
–4y + 20 = –3x + 12
–4y + 20 + 3x – 12 = 0
3x – 4y + 8 = 0
Entonces, la ecuación de la mediana a través del vértice R es 3x – 4y + 8 = 0.
Pregunta 10. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (–3, 5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (–3, 6).
Solución:
Dado que los Puntos son (2, 5) y (-3, 6).
Entonces, la pendiente, m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1)
= (6 – 5)/(–3 – 2)
= 1/–5 = –1/5
Como sabemos que dos rectas no verticales son perpendiculares entre sí
si sus pendientes son recíprocas negativas entre sí.
Entonces, m = (–1/m1)
= –1/(–1/5)
= 5
Como sabemos que el punto p(x, y) está en la línea con
pendiente m a través del punto fijo (x1, y1),
Si sus coordenadas satisfacen la ecuación y – y1 = m (x – x1)
Entonces, y – 5 = 5(x – (–3))
y-5 = 5x + 15
5x + 15 – y + 5 = 0
5x – y + 20 = 0
Entonces, la ecuación de la recta es 5x – y + 20 = 0
Capítulo 10 Líneas rectas – Ejercicio 10.2 | conjunto 2
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Artículo escrito por karnalrohit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA