Pregunta 11. Demuestra que la recta que pasa por el punto (x1, y1) y es paralela a la recta Ax + By + C = 0 es A (x – x1) + B (y – y1) = 0.
Solución:
Supongamos que la pendiente de la recta Ax + By + C = 0 sea m,
Hacha + Por + C = 0
Por lo tanto, y = -A/B x – C/B
m = -A / B
Usando la fórmula,
Como sabemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m = -A/B es,
y – y1 = metro (x – x1)
y – y1= -A/B (x – x1)
B (y – y1) = -A (x – x1)
Por lo tanto, A(x – x1) + B(y – y1) = 0
Por tanto, la recta que pasa por el punto (x1, y1) y paralela a la recta Ax + By + C = 0 es A (x – x1) + B (y – y1) = 0
Por lo tanto, probado.
Pregunta 12. Dos líneas que pasan por el punto (2, 3) se cortan entre sí en un ángulo de 60 o . Si la pendiente de una recta es 2, encuentra la ecuación de la otra recta.
Solución:
Dado que, m1 = 2
Supongamos que la pendiente de la primera línea sea m1 y
La pendiente de la otra recta sea m2.
El ángulo entre las dos líneas es de 60° (Dado)
Por lo tanto,
tanθ = |m1 – m2| / |1 + m1m2|
tan 60 o = |2 – m2| / |1 + 2m2|
√3 = ±((2 – m2) / (1 + 2m2))
Después de la racionalización, tenemos,
m2 = (2 – √3) / (2√3 + 1) y m2 = -(2 – √3) / (2√3 + 1)
Caso 1: Cuando m2 = (2 – √3) / (2√3 + 1)
Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente m2 = (2 – √3) / (2√3 + 1) es:
y – 2 = ((2 – √3) / (2√3 + 1)) x (x – 2)
Después de resolver la ecuación anterior tenemos,
(√3 – 2)x + (2√3 + 1) y = 8√3 – 1
La ecuación de la recta es (√3 – 2)x + (2√3 + 1) y = 8√3 – 1.
Caso 2: Cuando m2 = -(2 – √3) / (2√3 + 1)
Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente m2 = -(2 – √3) / (2√3 + 1) es:
y – 3 = -(2 – √3) / (2√3 + 1) x (x – 2)
Después de resolver la ecuación anterior tenemos,
(√3 + 2)x + (2√3 – 1) y = 8√3 + 1
La ecuación de la recta es (√3 + 2)x + (2√3 – 1) y = 8√3 + 1.
Pregunta 13. Encuentra la ecuación de la bisectriz derecha del segmento de recta que une los puntos (3, 4) y (–1, 2).
Solución:
Dado que,
La bisectriz derecha de un segmento de línea biseca el segmento de línea en 90° y
Los puntos finales del segmento de línea AB se dan como A (3, 4) y B (–1, 2).
Supongamos que el punto medio de AB sea (x, y)
x = (3-1)/2 = 2/2 = 1
y = (4+2)/2 = 6/2 = 3
(x, y) = (1, 3)
Sea m1 la pendiente de la recta AB
m1 = (2 – 4)/(-1 – 3)
= -2/(-4) = 1/2
Sea m2 la pendiente de la recta perpendicular a AB
m2 = -1/(1/2) = -2
La ecuación de la recta que pasa por (1, 3) y tiene pendiente –2 es,
(y – 3) = -2 (x – 1)
y – 3 = – 2x + 2
2x + y = 5
Por lo tanto, la ecuación requerida de la recta es 2x + y = 5
Pregunta 14. Encuentra las coordenadas del pie de la perpendicular desde el punto (–1, 3) a la línea 3x – 4y – 16 = 0.
Solución:
Consideremos las coordenadas del pie de la perpendicular desde (-1, 3) a la línea 3x – 4y – 16 = 0 be (a, b)
Por tanto, sea m1 la pendiente de la recta que une (-1, 3) y (a, b)
m1 = (b-3)/(a+1) ,
y sea m2 la pendiente de la recta 3x – 4y – 16 = 0
y = 3/4x – 4
m2 = 3/4
Como estas dos rectas son perpendiculares, m1 × m2 = -1 (Dado)
(b-3) / (a+1) × (3/4) = -1
(3b-9) / (4a+4) = -1
3b – 9 = -4a – 4
4a + 3b = 5 ————(yo)
El punto (a, b) se encuentra en la línea 3x – 4y = 16
3a – 4b = 16 ———-(ii)
después de resolver las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos
a = 68/25 y b = -49/25
Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular son (68/25, -49/25)
Pregunta 15. La perpendicular desde el origen a la recta y = mx + c la corta en el punto (–1, 2). Encuentre los valores de m y c.
Solución:
Dado que,
La perpendicular desde el origen se encuentra con la recta dada en (–1, 2).
Como sabemos que la ecuación de la recta es y = mx + c
La recta que une los puntos (0, 0) y (–1, 2) es perpendicular a la recta dada.
por tanto, la pendiente de la recta que une (0, 0) y (–1, 2) = 2/(-1) = -2
La pendiente de la recta dada es m. (Suposición)
metro × (-2) = -1
metro = 1/2
Como el punto (-1, 2) se encuentra en la línea dada,
y = mx + c
2 = 1/2 × (-1) + c
c = 2 + 1/2 = 5/2
Por lo tanto, los valores de m y c son 1/2 y 5/2 respectivamente.
Pregunta 16. Si p y q son las longitudes de las perpendiculares desde el origen hasta las rectas x cos θ − y sin θ = k cos 2θ y x sec θ + y cosec θ = k, respectivamente, demuestre que p 2 + 4q 2 = k 2
Solución:
Dado que,
Las ecuaciones de las rectas dadas son
x cos θ – y sen θ = k cos 2θ ———–(i)
x segundo θ + y cosegundo θ = k —————(ii)
La distancia perpendicular (d) de una recta Ax + By + C = 0 desde un punto (x1, y1) viene dada por
d = |Ax1 + By1 + C| / √A 2 + B 2
Después de comparar la ecuación (i) y (ii) obtenemos,
A = cos θ, B = -sin θ y C = -k cos 2θ
Dado que p es la longitud de la perpendicular desde (0, 0) a la línea (i)
p = |A × 0 + B × 0 + C| / √A 2 + B 2
= |-k cos 2θ| / √cos 2 θ + sen 2 θ = k cos 2θ
p = k cos 2θ
Cuadremos en ambos lados, y obtenemos,
pag 2 = k 2 cos 2 2θ ————(iii)
Ahora compare la ecuación. (ii) con la ecuación general de la línea, es decir, Ax + By + C = 0, y obtenemos,
A = sec θ, B = cosec θ y C = -k
Como sabemos que q es la longitud de la perpendicular desde (0, 0) a la línea (ii)
q = |A x 0 + B x 0 + C| / √A 2 + B 2 = |C| / √A 2 + B 2
= |-k| / √sec 2 θ + cosec 2 θ = k cos θ sen θ
q = k cos θ sen θ
Multiplicando ambos lados por 2, obtenemos
2q = 2k cos θ sen θ = k × 2 sen θ cos θ
2q = k sen 2θ
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos
4q 2 = k 2 sen 2 2θ ————–(iv)
Ahora sumamos (iii) y (iv) obtenemos
pag 2 + 4q 2 = k 2 cos 2 2θ + k 2 sen 2 2θ
p 2 + 4q 2 = k 2 (cos 2 2θ + sen 2 2θ) (Como sabemos que cos 2 2θ + sen 2 2θ = 1)
Por lo tanto, p 2 + 4q 2 = k 2
Por lo tanto, probado.
Pregunta 17. En el triángulo ABC con vértices A (2, 3), B (4, –1) y C (1, 2), encuentra la ecuación y la longitud de la altura desde el vértice A.
Solución:
Supongamos que AD es la altura del triángulo ABC desde el vértice A.
Por lo tanto, AD es perpendicular a BC
Dado que,
Vértices A (2, 3), B (4, –1) y C (1, 2)
Vamos a la pendiente de la línea BC = m1
m1 = (-1 – 2) / (4 – 1)
m1 = -1
Sea m2 la pendiente de la recta AD
AD es perpendicular a BC
m1 × m2 = -1
-1 × m2 = -1
m2 = 1
La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene una pendiente de 1 es,
y-3 = 1 × (x-2)
y-3 = x-2
y – x = 1
Ecuación de la altura desde el vértice A = y – x = 1
Longitud de AD = Longitud de la perpendicular desde A (2, 3) hasta BC
La ecuación de BC es
y + 1 = -1 × (x – 4)
y + 1 = -x + 4
x + y – 3 = 0 ————-(yo)
La distancia perpendicular d de una recta Ax + By + C = 0 desde un punto (x1, y1) viene dada por d = |Ax1 + By1 + C| / √A 2 + B 2
Ahora compare la ecuación (i) con la ecuación general de la línea, es decir, Ax + By + C = 0, y obtenemos,
Longitud de AD = |1 × 2 + 1 × 3 – 3| / √1 2 + 1 2 = √2 unidades (A = 1, B = 1 y C = -3)
Por lo tanto, la ecuación y la longitud de la altitud desde el vértice A son y – x = 1 y √2 unidades respectivamente.
Pregunta 18. Si p es la longitud de la perpendicular desde el origen hasta la línea cuyas intersecciones en los ejes son a y b, entonces demuestre que 1/p 2 = 1/a 2 + 1/b 2
Solución:
La ecuación de una línea cuyas intersecciones en los ejes son a y b es x/a + y/b = 1
bx + ay = ab
bx + ay – ab = 0 ————-(i)
La distancia perpendicular (d) de una recta Ax + By + C = 0 desde un punto (x1, y1) viene dada por
d = |Ax1 + By1 + C| / √A 2 + B 2
Después de comparar la ec. (i) con la ecuación general de la línea, es decir, Ax + By + C = 0, obtenemos,
A = b, B = a y C = -ab
Supongamos que si p es la longitud de la perpendicular desde el punto (x1, y1) = (0, 0) hasta la línea (i), obtenemos
p = |A x 0 + B x 0 – ab| / √a 2 + b 2 = |-ab| / √a 2 + b 2
Ahora cuadrados en ambos lados obtenemos
pag 2 = (-ab) 2 / a 2 + b 2
1 / pag 2 = (un 2 + segundo 2 ) / un 2 segundo 2
Por lo tanto, 1/p 2 = 1/a 2 + 1/b 2
Por lo tanto, probado.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA