Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 11 Sección cónica – Ejercicio 11.3

En cada uno de los Ejercicios 1 al 9, encuentre las coordenadas de los focos, los vértices, la longitud del eje mayor, el eje menor, la excentricidad y la longitud del lado recto de la elipse.

Pregunta 1.  \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16}  = 1

Solución:

Como el denominador de x 2 /36 es mayor que el denominador de y 2 /16,

el eje mayor está a lo largo del eje x. 

Al comparar la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 36 y b 2 = 16

⇒ a = ±6 y b = ±4

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a 2 > b 2 )

c = √(a 2 – b 2 ) -(cuando a 2 > b 2 )

c = √(36 – 16)

c = √20 = 2√5

⇒ (2√5, 0) y (-2√5, 0)

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a 2 > b 2 )

⇒ (6, 0) y (-6, 0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje mayor = 12

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje menor = 8

Excentricidad

Excentricidad = c/a (cuando a 2 > b 2 )

= 2√5/6

= √5/3

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b 2 /a (cuando a 2 > b 2 )

= 2×16/6

= 16/3

Pregunta 2.  \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25}  = 1

Solución:

Como el denominador de y 2/25 es mayor que el denominador de x 2/4

el eje mayor está a lo largo del eje y. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 4 y b 2 = 25

⇒ a = ±2 y b = ±5

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a 2 < b 2 )

c = √(b 2 – a 2 ) -(cuando a 2 < b 2 )

c = √(25 – 4)

c = √21

⇒ (0, √21) y (0, -√21)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a 2 < b 2 )

⇒ (0, 5) y (0, -5)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 5

⇒ Longitud del eje mayor = 10

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

=2 × 2

⇒ Longitud del eje menor =4

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a 2 < b 2 )

= √21/5

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a 2 /b (cuando a 2 < b 2 )

= 2×4/5

= 8/5

Pregunta 3.  \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}  = 1

Solución:

Como el denominador de x 2 /16 es mayor que el denominador de y 2 /9, 

el eje mayor está a lo largo del eje x. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 16 y b 2 = 9

⇒ a = ±4 y b = ±3

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a 2 > b 2 )

c = √(a 2 – b 2 ) -(cuando a 2 > b 2 )

c = √(16 – 9)

c = √7

⇒ (√7, 0) y (-√7, 0).

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a 2 > b 2 )

⇒ (4,0) y (-4,0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje mayor = 8

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 3

⇒ Longitud del eje menor = 6

Excentricidad:

Excentricidad = c/a (cuando a 2 >b 2 )

= √7/4

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b 2 /a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 9/4

= 9/2

Pregunta 4.  \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100}  = 1

Solución:

Como el denominador de y 2/100 es mayor que el denominador de x 2/25

el eje mayor está a lo largo del eje y. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 25 y b 2 = 100

⇒ a = ±5 y b = ±10

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a 2 < b 2 )

c = √(b 2 – a 2 ) -(cuando a 2 < b 2 )

c = √(100 – 25)

c = √75

c = 5√3

⇒ (0, 5√3) y (0, -5√3)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a 2 < b 2 )

⇒ (0, 10) y (0, -10)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 10

⇒ Longitud del eje mayor = 20

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 5

⇒ Longitud del eje menor = 10

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a 2 < b 2 )

= 5√3/10

= √3/2

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a 2 /b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 25/10

= 5

Pregunta 5.  \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36}  = 1

Solución:

Como el denominador de x 2 /49 es mayor que el denominador de y 2 /36, 

el eje mayor está a lo largo del eje x. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 49 y b 2 = 36

⇒ a = ±7 y b = ±6

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a 2 > b 2 )

c = √(a 2 – b 2 ) -(cuando a 2 > b 2 )

c = √(49 – 36)

c = √13

⇒ (√13, 0) y (-√13, 0).

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a 2 > b 2 )

⇒ (7, 0) y (-7, 0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 7

⇒ Longitud del eje mayor = 14

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje menor = 12

Excentricidad:

Excentricidad = c/a (cuando a 2 > b 2 )

= √13/7

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b 2 /a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 36/7

= 72/7

Pregunta 6.  \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{400}  = 1

Solución:

Como el denominador de y 2 /400 es mayor que el denominador de x 2 /100, 

el eje mayor está a lo largo del eje y. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 100 y b 2 = 400

⇒ a = ±10 y b = ±20

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a 2 < b 2 )

c = √(b 2 – a 2 ) -(cuando a 2 < b 2 )

c = √(400 – 100)

c = √300

c = 10√3

⇒ (0, 10√3) y (0, -10√3)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a 2 < b 2 )

⇒ (0, 20) y (0, -20)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 20

⇒ Longitud del eje mayor = 40

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 10

⇒ Longitud del eje menor = 20

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a 2 < b 2 )

= 10√3/20

= √3/2

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a 2 /b (cuando a 2 < b 2 )

= 2×100/20

= 10

Pregunta 7. 36x 2 + 4y 2 = 144

Solución:

36×2 + 4y2 = 144

Dividiendo LHS y RHS por 144,

\frac{36x^2}{144} + \frac{4y^2}{144} = \frac{144}{144}

\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36}  = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de y 2/36 es mayor que el denominador de x 2/4

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 4 y b 2 = 36

⇒ a = ±2 y b = ±6

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a 2 < b 2 )

c = √(b 2 – a 2 ) -(cuando a 2 < b 2 )

c = √(36 – 4)

c = √32

c = 4√2

⇒ (0, 4√2) y (0, -4√2)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a 2 < b 2 )

⇒ (0, 6) y (0, -6)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a 2 <b 2 )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje mayor = 12

Longitud del eje menor

Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 2

⇒ Longitud del eje menor = 4

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a 2 < b 2 )

= 4√2/6

= 2√2/3

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a 2 /b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 4/6

= 4/3

Pregunta 8. 16x 2 + y 2 = 16

Solución:

16x 2 + y 2 = 16

Dividiendo LHS y RHS por 16,

\frac{16x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = \frac{16}{16}

\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{16}  = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de y 2/16 es mayor que el denominador de x 2/1

el eje mayor está a lo largo del eje y. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 1 y b 2 = 16

⇒ a = ±1 y b = ±4

Los focos: 

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a 2 < b 2 )

c = √(b 2 – a 2 ) -(cuando a 2 < b 2 )

c = √(16 – 1)

c = √15

⇒ (0, √15) y (0, -√15)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a 2 < b 2 )

⇒ (0, 4) y (0, -4)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje mayor = 8

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

=2 × 1

⇒ Longitud del eje menor = 2

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a 2 < b 2 )

= √15/4

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a 2 /b (cuando a 2 < b 2 )

= 2 × 1/4

= 1/2

Pregunta 9. 4x 2 + 9y 2 = 36

Solución:

4x 2 + 9y 2 = 36

Dividiendo LHS y RHS por 36,

\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = \frac{36}{36}

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}  = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de x 2 /9 es mayor que el denominador de y 2 /4, 

el eje mayor está a lo largo del eje x. 

Comparando la ecuación dada con  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, obtenemos

a 2 = 9 y b 2 = 4

⇒ a = ±3 y b = ±2

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a 2 > b 2 )

c = √(a 2 – b 2 ) -(cuando a 2 > b 2 )

c = √(9 – 4)

c = √5

⇒ (√5, 0) y (-√5, 0).

vértices

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a 2 > b 2 )

⇒ (3, 0) y (-3, 0).

Longitud del eje mayor

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 3

⇒ Longitud del eje mayor = 6

Longitud del eje menor

Longitud del eje menor = 2b (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 2

⇒ Longitud del eje menor = 4

Excentricidad

Excentricidad = c/a (cuando a 2 > b 2 )

= √5/3

Longitud del latus rectum

Longitud del latus rectum = 2b 2 /a (cuando a 2 > b 2 )

= 2 × 4/3

= 8/3

En cada uno de los siguientes ejercicios 10 a 20, encuentre la ecuación para la elipse que satisfaga las condiciones dadas:

Pregunta 10. Vértices (± 5, 0), focos (± 4, 0).

Solución:

Como los vértices están en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que a = ±5, c = ±4

Como, de la relación

c 2 = a 2 – b 2 (cuando a 2 > b 2 )

segundo 2 = un 2 – c 2

b 2 = 25 – 16

b 2 = 9

Entonces, a 2 = 25 y b 2 = 9

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}  = 1

Pregunta 11. Vértices (0, ± 13), focos (0, ± 5).

Solución:

Como los vértices están en el eje y, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a 2 < b 2 )

Dado que b = ±13, c = ±5

Como, de la relación

c 2 = b 2 – a 2 (cuando a 2 < b 2 )

un 2 = segundo 2 – c 2

un 2 = 169 – 25

un 2 = 144

Entonces, a 2 = 144 y b 2 = 169

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{169}  = 1

Pregunta 12. Vértices (± 6, 0), focos (± 4, 0).

Solución:

Como los vértices están en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que a = ±6, c = ±4

Como, de la relación

c 2 = a 2 – b 2 (cuando a 2 > b 2 )

segundo 2 = un 2 – c 2

b 2 = 36 – 16

b 2 = 20 

Entonces, a 2 = 36 y b 2 = 20

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20}  = 1

Pregunta 13. Extremos de eje mayor (± 3, 0), extremos de eje menor (0, ± 2).

Solución:

Dado que el eje mayor está en el eje x y el eje menor en el eje y, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que a = ±3, b = ±2

Entonces, a 2 = 9 y b 2 = 4

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}  = 1

Pregunta 14. Extremos de eje mayor (0, ±√5), extremos de eje menor (± 1, 0).

Solución:

Dado que el eje mayor está en el eje y y el eje menor en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a 2 < b 2 )

Dado que a = ±1, b = ±√5

Entonces, a 2 = 1 y b 2 = 5

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{5}  = 1

Pregunta 15. Longitud del eje mayor 26, focos (± 5, 0).

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que c = ±5 y Longitud del eje mayor = 26

Como, Longitud del eje mayor = 2a (cuando a 2 > b 2 )

2a = 26

un = 13

Como, de la relación

c 2 = a 2 – b 2 (cuando a 2 > b 2 )

segundo 2 = un 2 – c 2

b2 = 169 – 25

b2 = 144

Entonces, a 2 = 169 y b 2 = 144

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144}  = 1

Pregunta 16. Longitud del eje menor 16, focos (0, ± 6).

Solución:

Como los focos están en el eje y, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a 2 < b 2 )

Dado que c = ±6 y Longitud del eje menor = 16

Como, Longitud del eje menor = 2a (cuando a 2 < b 2 )

2a = 16

un = 8

Como, de la relación

c 2 = b 2 – a 2 (cuando a 2 < b 2 )

segundo 2 = do 2 + un 2

b2 = 36 + 64

b 2 = 100 

Entonces, a 2 = 64 y b 2 = 100

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100}  = 1

Pregunta 17. Focos (± 3, 0), a = 4.

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que a = 4 y c = ±3

Como, de la relación

c 2 = a 2 – b 2 (cuando a 2 > b 2 )

segundo 2 = un 2 – c 2

b 2 = 16 – 9

b 2 = 7

Entonces, a 2 = 16 y b 2 = 7

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7}  = 1

Pregunta 18. b = 3, c = 4, centro en el origen; focos en el eje x.

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a 2 > b 2 )

Dado que b = 3 y c = 4

Como, de la relación

c 2 = a 2 – b 2 (cuando a 2 > b 2 )

un 2 = segundo 2 + c 2

un 2 = 9 + 16

un 2 = 25

Entonces, a 2 = 25 y b 2 = 9

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}  = 1

Pregunta 19. Centro en (0,0), eje mayor en el eje y y pasa por los puntos (3, 2) y (1, 6).

Solución:

La ecuación estándar de la elipse con centro (0, 0) será de la forma 

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1

Como los puntos (3, 2) y (1, 6) están en la elipse, podemos tener 

\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2}  = 1 

\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2}  = 1 -(1)

\frac{1^2}{a^2} + \frac{6^2}{b^2}  = 1 

\frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2}  = 1 -(2)

Eq(2) restada de (multiplicando eq(1) por 9) y obtenemos

9×( \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} ) – ( \frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2} ​​) = 9 – 1

\frac{81}{a^2} + \frac{36}{b^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{36}{b^2}  = 8

80/a 2 = 8

un 2 = 80/8

un 2 = 10

Ahora, sustituyendo a 2 = 10 en eq(1)

\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2}  = 1

9/10 + 4/b 2 = 1

4/b 2 = 1 – 9/10

4/b 2 = 1/10

segundo 2 = 10 × 4 = 40

Entonces, a 2 = 10 y b 2 = 40

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{40}  = 1

Pregunta 20. Eje mayor sobre el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2).

Solución:

La ecuación estándar de la elipse con centro (0, 0) será de la forma

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}  = 1

Como los puntos (4,3) y (6,2) están en la elipse, podemos tener

\frac{4^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2}  = 1

\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2}  = 1 -(1)

y,  \frac{6^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2}  = 1

\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2}  = 1 -(2)

(multiplicando eq(2) por 9) restado de (multiplicando eq(1) por 4) y obtenemos

9×( \frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2}  ) – 4×( \frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} ) = 9 – 4

\frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2} - \frac{64}{a^2} - \frac{36}{b^2}  = 5

260/a 2 = 5

un 2 = 260/5

un 2 = 52

Ahora, sustituyendo a 2 = 52 en eq(1)

\frac{16}{2} + \frac{9}{b^2}  = 1

9/b 2 = 1 – 16/52

9/b 2 = 36/52

9/b 2 = 36/52

b2 = 9 × 36/52 = 13

Entonces, a 2 = 52 y b 2 = 13

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13}  = 1

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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