Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 11 Sección cónica – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 11

Pregunta 1. Si un reflector parabólico tiene 20 cm de diámetro y 5 cm de profundidad, encuentra el foco.

Solución:

El origen del plano de coordenadas se toma en el vértice del reflector parabólico de tal manera que el eje del reflector está a lo largo del eje positivo,

La ecuación de esta parábola será,

y ² = 4ax, que pasa por A(5,10)

Entonces, 10 ² = 4 a(5)

un = $\frac{100}{20}$

un = 5

Por lo tanto, el foco de la parábola es (a, 0) = (5, 0), que es el punto medio del diámetro.

Pregunta 2. Un arco tiene forma de parábola con su eje vertical. El arco tiene 10 m de alto y 5 m de ancho en la base. ¿Qué ancho tiene 2 m desde el vértice de la parábola?

Solución:

Podemos tomar el origen del plano de coordenadas como vértice del arco, donde su eje vertical está a lo largo del eje y positivo

La ecuación de esta parábola será,

x ² = 4ay, que pasa por A( $\frac{5}{2}$ ,10)

Entonces, $(\frac{5}{2})^2$ = 4 a(10)

4a = $\frac{25}{4*10}$

4a = $\frac{5}{8}$

La ecuación de la parábola se convierte en,

x2 = y ^_ $\frac{5}{8}$

Necesitamos encontrar el ancho, cuando la altura = 2m.

y = 2, entonces

x ² = $\frac{5}{8}$ × (2)

x2 = ^_ $\frac{5}{4}$

x = $\frac{√5}{2}$

Ancho = AB

= 2 × $\frac{√5}{2}$

Ancho (AB) = √5 m

Pregunta 3. El cable de un puente colgante cargado uniformemente cuelga en forma de parábola. La calzada que es horizontal y de 100 m de largo está sostenida por alambres verticales sujetos al cable, siendo el alambre más largo de 30 my el más corto de 6 m. Encuentre la longitud de un cable de soporte unido a la calzada a 18 m del centro.

Solución:

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente

Aquí, AB y OC son los hilos más largos y más cortos, respectivamente, conectados al cable.

Entonces, AB = 30m, OC = 6m y BC = 50m.

La ecuación de esta parábola será,

x ² = 4ay, que pasa por A (50, 30 -6) = (50, 24)

50 ² = 4a(24)

4a = $\frac{50*50}{24}$

4a = $\frac{625}{6}$

La ecuación de la parábola se convierte en,

x2 = y ^_ $\frac{625}{6}$

6x ² = 652 y

Entonces, en D donde x = 18m

6(18) ² = 652 años

y = $\frac{6*18*18}{625}$

y = 3,11 metros

DE = 3,11 m

DF = DE + EF = 3,11 +6 = 9,11

Por lo tanto, la longitud del cable de soporte unido a la calzada a 18 m del centro es de aproximadamente 9,11 m.

Pregunta 4. Un arco tiene forma de semielipse. Tiene 8 m de ancho y 2 m de alto en el centro. Encuentre la altura del arco en un punto a 1,5 m de un extremo.

Solución:

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente

a = 4m

segundo = 2m

La ecuación de la semielipse será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$

Sea A un punto sobre el eje mayor tal que AB = 1,5 m. y AC ⊥ OB.

AO = (4 – 1,5)m = 2,5m

La coordenada x del punto C es 2.5

Al sustituir x = 2.5, obtenemos,

$\frac{2.5^2}{16} + \frac{y^2}{4}$ = 1

$\frac{6.25}{16} + \frac{y^2}{4}$ = 1

y ² = 4 (1 – $\frac{6.25}{16}$ )

= 4 ( $\frac{9.75}{16}$ )

= 2.4375

y = 1,56 (aprox.)

Entonces, AC = 1.56 m

Por tanto, la altura del arco en un punto a 1,5 m de un extremo es de aproximadamente 1,56 m.

Pregunta 5. Una barra de 12 cm de longitud se mueve con sus extremos siempre tocando los ejes de coordenadas. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto P en la barra, que está a 3 cm del extremo en contacto con el eje x.

Solución:

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente,

Donde, sea AB la barra que forma un ángulo θ con OX y sea P(x,y) el punto sobre ella tal que

AP = 3 cm y AB = 12 cm

Entonces, PB = AB – AP = (12 – 3) = 9cm

De P, dibuja PQ ⊥ OY y PR ⊥ OX.

En ΔPBQ,

cos θ = $\frac{PQ}{PB} = \frac{x}{9}$

sen θ = $\frac{PR}{PA} = \frac{y}{3}$

sabemos que, sen ² θ + cos ² θ = 1,

Asi que,

$(\frac{y}{3})^2 + (\frac{x}{9})^2 = 1$

$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{9} = 1$

Por lo tanto, la ecuación del lugar geométrico del punto P en la barra es $\mathbf{\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{9} = 1}$

Pregunta 6. Halla el área del triángulo formado por las rectas que unen el vértice de la parábola x ² = 12y con los extremos de su latus rectum.

Solución:

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente,

La ecuación de esta parábola será,

x ² = 4 días = 12 años

4a = 12

a = 3cm

El foco es (0,a) = (0,3)

Ahora sea AB el lado recto de la parábola dada.

En y = 3,

x2 = 12(3 ⁾

× ² = 36

x = ±6

Entonces, las coordenadas de A son (-6, 3), mientras que las coordenadas de B son (6, 3)

Entonces, los vértices de ΔOAB son O(0,0), A (-6,3) y B(6,3).

Usando la fórmula,

Área de ΔOAB = ½ [0(3-3) + (-6)(3-0) + 6(0-3)]

= ½ [(-6) (3) + 6 (-3)]

= ½ [-18-18]

= ½ [-36]

= unidad de 18 m2

Por lo tanto, el área de ΔOAB es 18 unidades cuadradas

Pregunta 7. Un hombre que corre en una pista de carreras observa que la suma de las distancias desde los dos postes de la bandera hasta él es siempre 10 my la distancia entre los postes de la bandera es 8 m. Encuentra la ecuación de los postes trazados por el hombre.

Solución:

Sean A y B las posiciones de los dos postes de la bandera y P(x, y) la posición del hombre.

Entonces, PA + PB = 10.

Sabemos que si un punto se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante, entonces el camino es una elipse y este valor constante es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.

Entonces, la trayectoria descrita por el hombre es una elipse donde la longitud del eje mayor es de 10m, mientras que los puntos A y B son los focos.

2a = 10

Ahora tomemos el origen del plano de coordenadas como el centro de la elipse, y tomando el eje mayor a lo largo del eje x,

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente,

La ecuación para esta elipse será,

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , donde ‘a’ es el semieje mayor.

Entonces, 2a = 10

un = 5

Distancia entre los focos,

2c = 8

c = 4

Usando la relación, obtenemos

c = √(a ² – b ² )

4 = √(25 – ^{segundo 2} )

16 = 25 – ^{segundo 2}

b ² = 25 -16 = 9

Por lo tanto, la ecuación del camino trazado por el hombre es $\mathbf{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1}$

Pregunta 8. Un triángulo equilátero está inscrito en la parábola y ² = 4 ax, donde un vértice está en el vértice de la parábola. Encuentra la longitud del lado del triángulo.

Solución:

De acuerdo con las condiciones dadas, podemos representar esquemáticamente,

Sea AB la intersección del eje x en el punto C.

Ahora sea OC = k

La ecuación de esta parábola para x = k,

y ² = 4ak

y = ±2√ak

Las coordenadas de los puntos A y B son (k, 2√ak), y (k, -2√ak)

AB = CA + CB

= 2√ak + 2√ak

= 4√ak

Entonces, OA ² = OC ² + AC ² ( teorema de Pitágoras )

OA ² = k ² + (2√ak) ²

Como OAB es un triángulo equilátero, OA ² = AB ² .

k2 + ( 2√ak ) ² = (4√ak ⁾²

k ² + 4ak = 16ak

k2 ⁼ 12ak

k = 12a

Entonces, AB = 4√ak = 4√(a×12a)

= 4√12a ²

= 4√(4a ² ×3)

= 8a√3

Por lo tanto, el lado del triángulo equilátero inscrito en la parábola y ² = 4ax es 8a√3 unidades .

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Si un reflector parabólico tiene 20 cm de diámetro y 5 cm de profundidad, encuentra el foco.

Pregunta 2. Un arco tiene forma de parábola con su eje vertical. El arco tiene 10 m de alto y 5 m de ancho en la base. ¿Qué ancho tiene 2 m desde el vértice de la parábola?

Pregunta 4. Un arco tiene forma de semielipse. Tiene 8 m de ancho y 2 m de alto en el centro. Encuentre la altura del arco en un punto a 1,5 m de un extremo.

Pregunta 5. Una barra de 12 cm de longitud se mueve con sus extremos siempre tocando los ejes de coordenadas. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto P en la barra, que está a 3 cm del extremo en contacto con el eje x.

Pregunta 6. Halla el área del triángulo formado por las rectas que unen el vértice de la parábola x 2 = 12y con los extremos de su latus rectum.

Pregunta 7. Un hombre que corre en una pista de carreras observa que la suma de las distancias desde los dos postes de la bandera hasta él es siempre 10 my la distancia entre los postes de la bandera es 8 m. Encuentra la ecuación de los postes trazados por el hombre.

Pregunta 8. Un triángulo equilátero está inscrito en la parábola y 2 = 4 ax, donde un vértice está en el vértice de la parábola. Encuentra la longitud del lado del triángulo.

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Pregunta 6. Halla el área del triángulo formado por las rectas que unen el vértice de la parábola x ² = 12y con los extremos de su latus rectum.

Pregunta 8. Un triángulo equilátero está inscrito en la parábola y ² = 4 ax, donde un vértice está en el vértice de la parábola. Encuentra la longitud del lado del triángulo.