Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 13 Límites y derivadas – Ejercicio 13.1

Pregunta 17: $\lim_{x \to 0} \frac{cos \hspace{0.1cm}2x-1}{cos \hspace{0.1cm}x-1}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{cos \hspace{0.1cm}2x-1}{cos \hspace{0.1cm}x-1}$ , como x⇢0

Como sabemos, cos 2θ = 1-2sen ² θ

Sustituyendo los valores, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{1-2sin^2x-1}{1-2sin^2(\frac{x}{2})-1}$

= $\lim_{x \to 0} \frac{sin^2x}{sin^2(\frac{x}{2})}$

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sin^2x}{sin^2(\frac{x}{2})} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, multipliquemos y dividamos el numerador por x ² y el denominador por $(\frac{x}{2})^2$ para que sea equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1}$

Por lo tanto, tenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin^2x \times x^2}{x^2}}{\frac{sin^2(\frac{x}{2}) \times (\frac{x}{2})^2}{(\frac{x}{2})^2}}$

= $\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{sin \hspace{0.1cm}x}{x})^2\times x^2}{(\frac{sin \hspace{0.1cm}(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2\times (\frac{x}{2})^2}$

= $\frac{(\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}x}{x})^2\times\lim_{x \to 0} x^2}{(\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2\times\lim_{x \to 0} (\frac{x}{2})^2}$

Usando el teorema, obtenemos

= $\frac{(1)^2\times\lim_{x \to 0} x^2}{(1)^2\times\lim_{x \to 0} (\frac{x^2}{4})}$

= $\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{(\frac{x^2}{4})}$

= $\lim_{x \to 0}(4)$

= 4

Pregunta 18: $\lim_{x \to 0} \frac{ax+xcos \hspace{0.1cm}x}{bsin \hspace{0.1cm}x}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{ax+xcos \hspace{0.1cm}x}{bsin \hspace{0.1cm}x}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{ax+xcos \hspace{0.1cm}x}{bsin \hspace{0.1cm}x} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, simplifiquemos la ecuación para que sea equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1}$

Por lo tanto, tenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{x(a+cos \hspace{0.1cm}x)}{bsin \hspace{0.1cm}x}$

= $\frac{1}{b}\times \lim_{x \to 0} \frac{x}{sin \hspace{0.1cm}x}\times \lim_{x \to 0} (a+cos \hspace{0.1cm}x)$

Usando el teorema, obtenemos

= $\frac{1}{b}\times 1\times \lim_{x \to 0} (a+cos \hspace{0.1cm}x)$

= $\frac{1}{b}\times a$

Poniendo x=0, tenemos

= $\frac{a}{b}$

Pregunta 19: $\lim_{x \to 0} x sec\hspace{0.1cm}x$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} x sec\hspace{0.1cm}x$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} x sec\hspace{0.1cm}x$ = 0 ×1

= 0

Pregunta 20: $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax+bx}{ax+sin \hspace{0.1cm}bx}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax+bx}{ax+sin \hspace{0.1cm}bx}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax+bx}{ax+sin \hspace{0.1cm}bx} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, simplifiquemos la ecuación para que sea equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1}$

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin \hspace{0.1cm}(ax)\times ax}{ax}+bx}{ax+\frac{sin \hspace{0.1cm}(bx)\times bx}{bx}}$

= $\frac{\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}(ax)}{ax}\times \lim_{x \to 0}ax+\lim_{x \to 0}bx}{\lim_{x \to 0}ax+\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}(bx)}{bx}\times\lim_{x \to 0} bx}$

Usando el teorema, obtenemos

= $\frac{1\times \lim_{x \to 0}ax+\lim_{x \to 0}bx}{\lim_{x \to 0}ax+1\times\lim_{x \to 0} bx}$

= $\frac{\lim_{x \to 0}ax+\lim_{x \to 0}bx}{\lim_{x \to 0}ax+\lim_{x \to 0} bx}$

= $\lim_{x \to 0} \frac{ax+bx}{ax+bx}$

= $\lim_{x \to 0} 1$

Poniendo x=0, tenemos

= 1

Pregunta 21: $\lim_{x \to 0} (cosec\hspace{0.1cm}x-cot\hspace{0.1cm}x)$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} (cosec\hspace{0.1cm}x-cot\hspace{0.1cm}x)$ , como x⇢0

Por simplificación, obtenemos

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{sin\hspace{0.1cm}x}-\frac{cos\hspace{0.1cm}x}{sin\hspace{0.1cm}x})$

$\lim_{x \to 0} (\frac{1-cos\hspace{0.1cm}x}{sin\hspace{0.1cm}x})$

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} (\frac{1-cos\hspace{0.1cm}x}{sin\hspace{0.1cm}x}) = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, simplifiquemos la ecuación para que sea equivalente al teorema:

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1}$

Usando las identidades trigonométricas,

cos 2θ = 1-2sen ² θ

sen 2θ = 2 senθ cosθ

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$\lim_{x \to 0} (\frac{2sin^2(\frac{x}{2})}{2 sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})})$

= $\lim_{x \to 0} (\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})})$

= $\lim_{x \to 0} tan(\frac{x}{2})$

Poniendo x=0, tenemos

= 0

Pregunta 22: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan \hspace{0.1cm}2x}{x-\frac{\pi}{2}}$

Solución:

En $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan \hspace{0.1cm}2x}{x-\frac{\pi}{2}}$ , como x⇢ $\frac{\pi}{2}$

Ponga x = $\frac{\pi}{2}$ , obtenemos

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan \hspace{0.1cm}2x}{x-\frac{\pi}{2}} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, simplifiquemos la ecuación:

Echemos $x-\frac{\pi}{2}=p$

Como, x⇢ $\frac{\pi}{2}$ ⇒ p⇢0

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

$\lim_{p \to 0} \frac{tan \hspace{0.1cm}2(p+\frac{\pi}{2})}{p}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{tan \hspace{0.1cm}(2p+\pi)}{p}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{tan \hspace{0.1cm}(2p)}{p}$ (Como tan (π+θ) = tan θ )

= $\lim_{p \to 0} \frac{\frac{sin \hspace{0.1cm}(2p)}{cos\hspace{0.1cm}(2p)}}{p}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}(2p)}{cos\hspace{0.1cm}(2p) \times p}$

Ahora, multipliquemos y dividamos la ecuación por 2 para que sea equivalente al teorema

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}(2p)}{cos\hspace{0.1cm}(2p) \times p} \times \frac{2}{2}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{2 sin \hspace{0.1cm}(2p)}{cos\hspace{0.1cm}(2p) \times 2p}$

Como p⇢0, entonces 2p⇢0

= $2. \lim_{2p \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}(2p)}{2p} \times \lim_{p \to 0}\frac{1}{cos\hspace{0.1cm}(2p)}$

Usando el teorema y poniendo p=0, tenemos

= 2×1×1

= 2

Pregunta 23: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ y $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq0\\ 3(x+1),\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢0

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x+3)\\ = 2(0)+3\\ =3$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3(x+1)\\ = 3(0+1)\\ =3$

Valor límite = $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (2x+3)\\ = 2(0)+3\\ =3$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 0^-} f(x)= \lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x)=3$ entonces existe un límite

Ahora, calculemos, los límites cuando x⇢1

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 3(x+1)\\= 3(1+1)\\=6$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 3(x+1)\\= 3(1+1)\\=6$

Valor límite = $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} 3(x+1)\\= 3(1+1)\\=6$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 1^-} f(x)= \lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x) = 6$ entonces existe un límite

Pregunta 24: Encuentra $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} x^2-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ -x^2-1,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢1

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2-1)\\= 1^2-1\\=0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x^2-1)\\= -1^2-1\\=-2$

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Por lo tanto, el límite no existe cuando x⇢1.

Pregunta 25: Evalúa $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢0

Aquí,

Como sabemos, la función mod funciona de manera diferente.

En |x-0|, |x|=x cuando x>0 y |x|=-x cuando x<0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}\\= \frac{-x}{x}\\=-1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}\\= \frac{x}{x}\\=1$

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$

Por lo tanto, el límite no existe cuando x⇢0.

Pregunta 26: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢0

Aquí,

Como sabemos, la función mod funciona de manera diferente.

En |x-0|, |x|=x cuando x>0 y |x|=-x cuando x<0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|}\\= \frac{x}{-x}\\=-1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|}\\= \frac{x}{x}\\=1$

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$

Por lo tanto, el límite no existe cuando x⇢0.

Pregunta 27: Encuentra $\lim_{x \to 5} f(x)$ , donde f(x)=|x|-5.

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢5

Aquí,

Como sabemos, la función mod funciona de manera diferente.

En |x-0|, |x|=x cuando x>0 y |x|=-x cuando x<0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} |x|-5\\= x-5\\=5-5\\=0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} |x|-5\\= x-5\\=5-5\\=0$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 5^-} f(x)= \lim_{x \to 5} f(x)=\lim_{x \to 5^+} f(x) = 0$ entonces existe un límite

Pregunta 28: Suponga $f(x)= \begin{cases} a+bx, \hspace{0.2cm}x<1\\ 4,\hspace{0.2cm}x=1\\ b-ax,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ y si $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ ¿cuáles son los posibles valores de a y b?

Solución:

Como, se da $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Calculemos, los límites cuando x⇢1

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} a+bx\\= a+b(1)\\=a+b$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} b-ax\\= b-a(1)\\=b-a$

Valor límite f(1) = 4

Entonces, como existe un límite, entonces debería satisfacer

$\lim_{x \to 1^-} f(x)= \lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 4$

Por lo tanto, a+b = 4 y ba = 4

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos

a = 0 y b = 4

Pregunta 29: Sea a ₁ , a ₂ , . . ., _an ser números reales fijos y definir una función

f(x) = (xa ₁ ) (xa ₂ )………… (x-an).

¿Qué es $\lim_{x \to a_1} f(x)$ ? Para algunos a ≠ a ₁ , a ₂ , …, an, calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ .

Solución:

Aquí, f(x) = (xa ₁ ) (xa ₂ )………… (xa _n ).

Después, $\lim_{x \to a_1} f(x) = \lim_{x \to a_1} (x-a_1) (x-a_2)............ (x-a_n)$

= $\lim_{x \to a_1} (x-a1) \lim_{x \to a_1}(x-a_2)............ \lim_{x \to a_1}(x-a_n)$

= (a ₁ -a ₁ ) (a ₁ -a ₂ )………… (a ₁ -a _n )

$\lim_{x \to a_1} f(x)$ = 0

Ahora, calculemos para $\lim_{x \to a} f(x)$

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (x-a_1) (x-a_2)............ (x-a_n)$

= $\lim_{x \to a} (x-a_1) \lim_{x \to a}(x-a_2)............ \lim_{x \to a}(x-a_n)$

= (aa ₁ ) (aa ₂ )………… (aa _n )

$\lim_{x \to a} f(x)$ = (aa ₁ ) (aa ₂ )………… (aa _n )

Pregunta 30: Si $f(x)= \begin{cases} |x|+1, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0\\ |x|-1,\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

¿Para qué valor(es) de a $\lim_{x \to a} f(x)$ existe?

Solución:

Aquí,

Como sabemos, la función mod funciona de manera diferente.

En |x-0|, |x|=x cuando x>0 y |x|=-x cuando x<0

Veamos tres casos de a:

Cuando a=0

Calculemos, los límites cuando x⇢0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (|x|+1)\\= -x+1\\=1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (|x|-1)\\= x-1\\=-1$

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$

Por lo tanto, el límite no existe cuando x⇢0.

cuando a>0

Tomemos a=2, como referencia

Calculemos, los límites cuando x⇢2

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (|x|-1)\\= x-1\\=2-1\\=1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (|x|-1)\\= x-1\\=2-1\\=1$

Como, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$

Por lo tanto, existe límite cuando x⇢2.

Cuando un<0

Tomemos a=-2, como referencia

Calculemos, los límites cuando x⇢ -2

Límite izquierdo = $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (|x|+1)\\= x+1\\=-2+1\\=-1$

Límite derecho = $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (|x|+1)\\= x+1\\=-2+1\\=-1$

Como, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x)$

Por lo tanto, existe límite cuando x⇢ -2.

Pregunta 31: Si la función f(x) satisface $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi$ , evalúa $\lim_{x \to 1} f(x)$

Solución:

Aquí, como se da

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi$

$\frac{\lim_{x \to 1} f(x)-2}{\lim_{x \to 1} x^2-1} = \pi$

$\lim_{x \to 1} (f(x)-2) = \pi (\lim_{x \to 1} x^2-1)$

Ponga x = 1 en RHS, obtenemos

$\lim_{x \to 1} (f(x)-2) = \pi (\lim_{x \to 1} (1^2-1))$

$\lim_{x \to 1} (f(x)-2) = 0$

$\lim_{x \to 1} f(x)-\lim_{x \to 1} 2= 0$

$\lim_{x \to 1} f(x)$ = 2

Por lo tanto demostrado!

Pregunta 32: Si $f(x)= \begin{cases} mx^2+n, \hspace{0.2cm}x<0\\ nx+m,\hspace{0.2cm},0\leq x\leq 1\\ nx^3+m, \hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ . ¿Para qué números enteros m y n existen ambos $\lim_{x \to 0} f(x)$ y ? $\lim_{x \to 1} f(x)$

Solución:

Calculemos, los límites cuando x⇢0

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (mx^2+n)\\ = (m(0)^2+n)\\ =n$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (nx+m)\\ = (n(0)+m)\\ =m$

Por eso,

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x)$ , entonces el límite existe

metro = norte

Ahora, calculemos, los límites cuando x⇢1

Aquí,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (nx+m)\\= (n(1)+m)\\=n+m$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (nx^3+m)\\= (n(1)^3+m)\\=n+m$

Por lo tanto, $\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x) = m+n$ entonces existe límite.

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Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 13 Límites y derivadas – Ejercicio 13.1 | conjunto 2

Pregunta 17: $\lim_{x \to 0} \frac{cos \hspace{0.1cm}2x-1}{cos \hspace{0.1cm}x-1}$

Pregunta 18: $\lim_{x \to 0} \frac{ax+xcos \hspace{0.1cm}x}{bsin \hspace{0.1cm}x}$

Pregunta 19: $\lim_{x \to 0} x sec\hspace{0.1cm}x$

Pregunta 20: $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax+bx}{ax+sin \hspace{0.1cm}bx}$

Pregunta 21: $\lim_{x \to 0} (cosec\hspace{0.1cm}x-cot\hspace{0.1cm}x)$

Pregunta 22: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan \hspace{0.1cm}2x}{x-\frac{\pi}{2}}$

Pregunta 23: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ y $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq0\\ 3(x+1),\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

Pregunta 24: Encuentra $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} x^2-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ -x^2-1,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 25: Evalúa $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 26: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 27: Encuentra $\lim_{x \to 5} f(x)$ , donde f(x)=|x|-5.

Pregunta 28: Suponga $f(x)= \begin{cases} a+bx, \hspace{0.2cm}x<1\\ 4,\hspace{0.2cm}x=1\\ b-ax,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ y si $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ ¿cuáles son los posibles valores de a y b?

Pregunta 29: Sea a ₁ , a ₂ , . . ., _an ser números reales fijos y definir una función

f(x) = (xa ₁ ) (xa ₂ )………… (x-an).

¿Qué es $\lim_{x \to a_1} f(x)$ ? Para algunos a ≠ a ₁ , a ₂ , …, an, calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ .

Pregunta 30: Si $f(x)= \begin{cases} |x|+1, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0\\ |x|-1,\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

¿Para qué valor(es) de a $\lim_{x \to a} f(x)$ existe?

Pregunta 31: Si la función f(x) satisface $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi$ , evalúa $\lim_{x \to 1} f(x)$

Pregunta 32: Si $f(x)= \begin{cases} mx^2+n, \hspace{0.2cm}x<0\\ nx+m,\hspace{0.2cm},0\leq x\leq 1\\ nx^3+m, \hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ . ¿Para qué números enteros m y n existen ambos $\lim_{x \to 0} f(x)$ y ? $\lim_{x \to 1} f(x)$

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Pregunta 17:

Pregunta 18:

Pregunta 19:

Pregunta 20:

Pregunta 21:

Pregunta 22:

Pregunta 23: Encuentra y , donde

Pregunta 24: Encuentra , donde

Pregunta 25: Evalúa , donde

Pregunta 26: Encuentra , donde

Pregunta 27: Encuentra , donde f(x)=|x|-5.

Pregunta 28: Suponga y si ¿cuáles son los posibles valores de a y b?

Pregunta 29: Sea a 1 , a 2 , . . ., an ser números reales fijos y definir una función

f(x) = (xa 1 ) (xa 2 )………… (x-an).

¿Qué es ? Para algunos a ≠ a 1 , a 2 , …, an, calcule .

Pregunta 30: Si

¿Para qué valor(es) de a existe?

Pregunta 31: Si la función f(x) satisface , evalúa

Pregunta 32: Si . ¿Para qué números enteros m y n existen ambos y ?

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Pregunta 17: $\lim_{x \to 0} \frac{cos \hspace{0.1cm}2x-1}{cos \hspace{0.1cm}x-1}$

Pregunta 18: $\lim_{x \to 0} \frac{ax+xcos \hspace{0.1cm}x}{bsin \hspace{0.1cm}x}$

Pregunta 19: $\lim_{x \to 0} x sec\hspace{0.1cm}x$

Pregunta 20: $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax+bx}{ax+sin \hspace{0.1cm}bx}$

Pregunta 21: $\lim_{x \to 0} (cosec\hspace{0.1cm}x-cot\hspace{0.1cm}x)$

Pregunta 22: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tan \hspace{0.1cm}2x}{x-\frac{\pi}{2}}$

Pregunta 23: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ y $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq0\\ 3(x+1),\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

Pregunta 24: Encuentra $\lim_{x \to 1} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} x^2-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ -x^2-1,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 25: Evalúa $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 26: Encuentra $\lim_{x \to 0} f(x)$ , donde $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 27: Encuentra $\lim_{x \to 5} f(x)$ , donde f(x)=|x|-5.

Pregunta 28: Suponga $f(x)= \begin{cases} a+bx, \hspace{0.2cm}x<1\\ 4,\hspace{0.2cm}x=1\\ b-ax,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ y si $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ ¿cuáles son los posibles valores de a y b?

Pregunta 29: Sea a ₁ , a ₂ , . . ., _an ser números reales fijos y definir una función

f(x) = (xa ₁ ) (xa ₂ )………… (x-an).

¿Qué es $\lim_{x \to a_1} f(x)$ ? Para algunos a ≠ a ₁ , a ₂ , …, an, calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ .

Pregunta 30: Si $f(x)= \begin{cases} |x|+1, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0\\ |x|-1,\hspace{0.2cm}x>0 \end{cases}$

¿Para qué valor(es) de a $\lim_{x \to a} f(x)$ existe?

Pregunta 31: Si la función f(x) satisface $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x^2-1} = \pi$ , evalúa $\lim_{x \to 1} f(x)$

Pregunta 32: Si $f(x)= \begin{cases} mx^2+n, \hspace{0.2cm}x<0\\ nx+m,\hspace{0.2cm},0\leq x\leq 1\\ nx^3+m, \hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$ . ¿Para qué números enteros m y n existen ambos $\lim_{x \to 0} f(x)$ y ? $\lim_{x \to 1} f(x)$