Pregunta 1. ¿Cuál de las siguientes no puede ser una asignación válida de probabilidades para los resultados del
espacio muestral S = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7}
| Asignación: | ω1 | ω2 | ω3 | ω4 | ω5 | ω6 | 7 |
| (a) | 0.1 | 0.01 | 0.05 | 0.03 | 0.01 | 0.2 | 0.6 |
| (b) | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 1/7 |
| (C) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
| (d) | -0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | -0.2 | 0.1 | 0.3 |
| (mi) | 1/14 | 2/14 | 3/14 | 4/14 | 5/14 | 6/14 | 15/14 |
Solución:
(a) Para verificar si una asignación determinada es válida o no, debemos verificar 2 condiciones:
i) Los números dados deben ser positivos.
ii) la suma de probabilidades es 1.
0,01 + 0,05 + 0,03 + 0,01 + 0,2 + 0,6 = 1
Por lo tanto, la asignación dada es válida.
(b) Para verificar si una asignación determinada es válida o no, debemos verificar 2 condiciones:
i) Los números dados deben ser positivos.
ii) la suma de probabilidades es 1.
= (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7)
= 7/7
= 1
Por lo tanto, la asignación dada es válida.
(c) Para verificar si una asignación determinada es válida o no, debemos verificar 2 condiciones:
i) Los números dados deben ser positivos.
ii) la suma de probabilidades es 1.
= 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7
= 2.8 > 1
Por lo tanto, la 2ª condición no se cumple.
Por lo tanto, la asignación dada no es válida.
(d) Dado que los números dados son negativos, lo que no satisface la primera condición.
Por lo tanto, la asignación no es válida.
(e) Para verificar si una asignación determinada es válida o no, debemos verificar 2 condiciones:
i) Los números dados deben ser positivos.
ii) la suma de probabilidades es 1.
= (1/14) + (2/14) + (3/14) + (4/14) + (5/14) + (6/14) + (7/14)
= (28/14) ≥ 1
La segunda condición no se cumple, por lo que la asignación no es válida.
Pregunta 2. Se lanza una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que al menos salga cruz?
Solución:
Los posibles resultados son Cara (H) y Cola (T).
Aquí se lanza una moneda dos veces, luego el espacio muestral es S = (TT, HH, TH, HT), n(S) = 4.
Sea A el evento de obtener al menos una cruz
norte (A) = 3
P(Evento) = Número de resultados favorables al evento/ Número total de posibles resultados
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/4.
Pregunta 3. Se lanza un dado, encuentre la probabilidad de los siguientes eventos:
(i) Aparecerá un número primo,
(ii) Aparecerá un número mayor o igual a 3,
(iii) Un número menor o igual a uno aparecerá,
(iv) Aparecerá un número mayor que 6,
(v) Aparecerá un número menor que 6.
Solución:
Aquí, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
(i) A = {2, 3, 5}; n(A) = 3
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/6
(ii) A = {3, 4, 5, 6}; n(A) = 4
P(A) = n(A)/n(S)
= 4/6
(iii) A = {1}; norte (A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/6
(iv) A = {0}; norte (A) = 0
P(A) = n(A)/n(S)
= 0/6 = 0
(v) A= {1, 2, 3, 4, 5}; norte (A) = 5
P(A) = n(A)/n(S)
= 5/6
Pregunta 4. Se selecciona una carta de un paquete de 52 cartas.
(a) ¿Cuántos puntos hay en el espacio muestral?
(b) Calcula la probabilidad de que la carta sea un as de picas.
(c) Calcule la probabilidad de que la carta sea (i) un as (ii) una carta negra
Solución:
(a) Número de puntos en el espacio muestral = 52
n(S) = 52
(b) Supongamos que ‘A’ es el evento de sacar un as de picas.
un = 1
Entonces, n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/52
(c) Supongamos que ‘A’ es el evento de sacar un as. Hay cuatro ases.
Entonces, n(A) = 4
P(A) = n(A)/n(S)
= 4/52
= 1/13
(d) Supongamos que ‘A’ es el evento de sacar una carta negra. Hay 26 cartas negras.
Entonces, n(A) = 26
P(A) = n(A)/n(S)
= 26/52
= 1/2
Pregunta 5. Se lanzan al aire una moneda justa con un 1 marcado en una cara y un 6 en la otra y un dado justo. Halla la probabilidad de que la suma de los números que salgan sea (i) 3 (ii) 12
Solución:
1,2,3,4,5,6 son los resultados posibles
espacio muestral S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 12
(i) A = {(1, 2)}; norte (A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/12
(ii) A = {(6, 6)}; norte (A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/12
Pregunta 6. Hay cuatro hombres y seis mujeres en el consejo de la ciudad. Si se selecciona
al azar un miembro del consejo para un comité, ¿qué probabilidad hay de que sea una mujer?
Solución:
Total de miembros en el consejo = 4 + 6 = 10; n (S) = 10
número de mujeres son 6
norte (A) = 6
P(A) = n(A)/n(S)
= 6/10
Pregunta 7. Se lanza una moneda justa cuatro veces y una persona gana Rs 1 por cada cara y pierde Rs 1,50 por cada cruz que sale. A partir del espacio de muestra, calcule cuántas cantidades diferentes de dinero puede tener después de cuatro lanzamientos y la probabilidad de tener cada una de estas cantidades.
Solución:
Aquí, Head(H) y Tail(T) son los resultados posibles.
S = (HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, THHT,
HTTH, THTH, TTHH, TTTH, TTHT, THTT, HTTT, TTTT)
(i) Para 4 cabezas = 1 + 1 + 1 + 1 = Rs 4
Entonces, él gana Rs 4
(ii) Para 3 caras y 1 cruz = 1 + 1 + 1 – 1,50
= 3 – 1,50
= 1,50 rupias
Entonces, ganará Rs 1.50
(iii) Para 2 caras y 2 cruces = 1 + 1 – 1,50 – 1,50
= 2 – 3
= – 1 rupias
Entonces, perderá Rs 1
(iv) Por 1 cara y 3 cruces = 1 – 1,50 – 1,50 – 1,50
= 1 – 4,50
= – 3,50 rupias
Entonces, perderá Rs. 3.50
(v) Para 4 cruces = – 1,50 – 1,50 – 1,50 – 1,50
= – 6 rupias
Entonces, perderá Rs. 6
Ahora el espacio muestral es
S = {4, 1,50, 1,50, 1,50, 1,50, – 1, – 1, – 1,
– 1, – 1, – 1, – 3,50, – 3,50, – 3,50, – 3,50, – 6}
Entonces, n (S) = 16
P (ganando Rs 4) = 1/16
P (ganando Rs 1.50) = 4/16
= 1/4
P (ganando Rs 1) = 6/16
= 3/8
P (ganando Rs 3.50) = 4/16
= 1/4
P (ganando Rs 6) = 1/16
= 3/8
Pregunta 8. Se lanzan tres monedas una vez. Encuentre la probabilidad de obtener
(i) 3 caras (ii) 2 caras (iii) al menos 2 caras
(iv) como máximo 2 caras (v) ninguna cara (vi) 3 cruces
(vii) Exactamente dos cruces (viii) ninguna cruz (ix) como máximo dos cruces
Solución:
Aquí, Head(H) y Tail(T) son los resultados posibles.
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, TTT, THT}; n(S) = 8
(i) La posibilidad de obtener 3 caras es 1; n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/8
(ii) La posibilidad de obtener 2 caras es 3; n(A) = 3
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/8
(iii) La posibilidad de obtener al menos 2 caras es 4; n(A) = 4
P(A) = n(A)/n(S)
= 4/8
(iv) La posibilidad de obtener como máximo 2 caras es 7; n(A) = 7
P(A) = n(A)/n(S)
= 7/8
(v) La posibilidad de no obtener cara es 1; n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/8
(vi) La posibilidad de obtener 3 cruces es 1; n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/8
(vii) La posibilidad de obtener 2 cruces es 3; n(A) = 3
P(A) = n(A)/n(S)
= 3/8
(viii) La posibilidad de no obtener cola es 1; n(A) = 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/8
(ix) La posibilidad de obtener como máximo 2 cruces es 7; n(A) = 7
P(A) = n(A)/n(S)
= 7/8
Pregunta 9. Si 2/11 es la probabilidad de un evento, ¿cuál es la probabilidad del evento ‘no A’?
Solución:
2/11 es la probabilidad de un evento A
P(A) = 2/11
P (no A) = 1 – P (A)
= 1 – (2/11)
= (11 – 2)/11
= 9/11
Pregunta 10. Se elige al azar una letra de la palabra ‘ASESINATO’. Encuentre la probabilidad de que la letra sea
(i) una vocal (ii) una consonante
Solución:
Total de letras en la palabra dada = 13
Número de vocales en la palabra dada = 6
Número de consonantes en la palabra dada = 7
Entonces, el espacio muestral n(S) = 13
(yo) una vocal
espacio muestral n(S) = 6
P(A) = n(A)/n(S)
= 6/13
(ii) una consonante
n(A) = 7
P(A) = n(A)/n(S)
= 7/13
Pregunta 11. En una lotería, una persona elige al azar seis números naturales diferentes del 1 al 20, y si estos seis números coinciden con los seis números ya fijados por el comité de lotería, gana el premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio en el juego? [El orden de las pistas de los números no es importante.]
Solución:
Número total de números en el sorteo = 20
Números a seleccionar = 6
Entonces, n(S) = 20 C 6
Ahora, supongamos que X sea el evento a
6 C 6 = 1
Entonces, la probabilidad de ganar el premio es
P(A) = n(A)/n(S) = 6 C 6 / 20 C 6
= 6×5×4×3×2×1×14! / 20×19×18×17×16×15×14!
= 1/38760
Pregunta 12. Comprueba si las siguientes probabilidades P(A) y P(B) están definidas consistentemente
(i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
(ii) P( A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∪ B) = 0,8
Solución:
(i) P(A ∩ B) > P(A)
Aquí, las probabilidades dadas no están definidas consistentemente.
(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0,8 = 0,5 + 0,4 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0,9 – 0,8
= 0,1
Por lo tanto, P(A ∩ B) < P(A) y P(A ∩ B) < P(B)
Entonces, las probabilidades dadas están definidas consistentemente.
Pregunta 13. Complete los espacios en blanco en la siguiente tabla:
| PENSILVANIA) | P(B) | P(A∩B) | P(A∪B) | |
| (i) | 1/3 | 1/5 | 1/15 | ……. |
| (ii) | 0.35 | ……. | 0.25 | 0.6 |
| (iii) | 0.5 | 0.35 | ……. | 0.7 |
Solución:
(i) P(A) = 1/3, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 1/15, P(A ∪ B) = ?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (1/3) + (1/5) – (1/15)
= ((5 + 3)/15) – (1/15)
= 7/15
(ii) P(A) = 0,35, P(B) = ?, P(A ∩ B) = 0,25, P(A ∪ B) = 0,6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0,6 = 0,35 + P(B) – 0,25
P(B) = 0,6 + 0,25 – 0,35
= 0,5
(iii) P(A) = 0,5, P(B) = 0,35, P(A ∪ B) = 0,7, P(A ∩ B) = ?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0,7 = 0,5 + 0,35 – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0,85 – 0,7
= 0,15
Pregunta 14. Dado P(A) = 5/3 y P(B) = 1/5. Encuentre P(A o B), si A y B son eventos mutuamente excluyentes.
Solución:
P(A) = 5/3 y P(B) = 1/5
P(A ∪ B) o P(A o B) = P(A) + P(B)
= (3/5) + (1/5)
= 4/5
Pregunta 15. Si E y F son eventos tales que P(E) = ¼, P(F) = ½ y P(E y F) = 1/8, encuentre
(i) P(E o F), (ii) P (no E y no F)
Solución:
(i) P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
= 1/4 + 1/2 – (1/8)
= 5/8
(ii) P(E’ ∩ F’) = P((FUE)’) = 1 – P(FUE)
= 1 – (5/8)
= (8 – 5)/8
= 3/8
Pregunta 16. Los eventos E y F son tales que P(no E o no F) = 0.25, Indique si E y F son mutuamente excluyentes.
Solución:
P(E’UF’) = 0,25
P((E ∩ F)’) = 0.25
1 – P(E ∩ F) = 0,25
P(E ∩ F) = 0,75
P(E ∩ F) no es igual a 0
Entonces, E y F no son eventos mutuamente excluyentes.
Pregunta 17. A y B son eventos tales que P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 y P(A y B) = 0.16. Determine (i) P(no A),
(ii) P(no B) y (iii) P(A o B)
Solución:
(i) P(no A) = 1 – P(A)
= 1 – 0,42
= 0,58
(ii) P(no B) = 1 – P(B)
= 1 – 0,48
= 0,52
(iii) P(A no B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0,42 + 0,48 – 0,16
= 0,74
Pregunta 18. En la Clase XI de una escuela el 40% de los alumnos estudian Matemáticas y el 30% estudian Biología. El 10% de la clase estudia tanto Matemáticas como Biología. Si se selecciona al azar un estudiante de la clase, encuentre la probabilidad de que estudie Matemáticas o Biología.
Solución:
P(A) = 40/100 = 2/5
P(G) = 30/100 = 3/10
PAG(A ∩ B) = 10/100 = 1/10
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 2/5 + 3/10 – 1/10
PAG(A ∪ B) = 3/5
Pregunta 19. En una prueba de ingreso que se califica sobre la base de dos exámenes, la probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe el primer examen es 0,8 y la probabilidad de aprobar el segundo examen es 0,7. La probabilidad de pasar al menos uno de ellos es 0,95. ¿Cuál es la probabilidad de pasar ambos?
Solución:
P(A ∪ B) = 0,95, P(A) = 0,8, P(B) = 0,7
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0,95 = 0,8 + 0,7 – P(A∩B)
P(A ∩ B) = 1,5 – 0,95
= 0,55
Pregunta 20. La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen final tanto en inglés como en hindi es 0,5 y la probabilidad de que no apruebe ninguno es 0,1. Si la probabilidad de aprobar el examen de inglés es 0,75, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen de hindi?
Solución:
Dado que, P(A) = 0,75, P(A ∩ B) =0,5, P(A’ ∩ B’) = 0,1
PAG(A’ ∩ B’) = 1 – PAG(A ∪ B)
Entonces, P(A ∪ B) = 1 – P(A’ ∩ B’)
= 1 – 0,1
= 0,9
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0,9 = 0,75 + P(B) – 0,5
P(B) = 0,9 + 0,5 – 0,75
= 0,65
Pregunta 21. En una clase de 60 estudiantes, 30 optaron por NCC, 32 optaron por NSS y 24 optaron por NCC y NSS. Si uno de estos estudiantes se selecciona al azar, encuentre la probabilidad de que
(i) El estudiante optó por NCC o NSS.
(ii) El estudiante no ha optado por NCC ni NSS.
(iii) El estudiante ha optado por NSS pero no por NCC.
Solución:
El número total de estudiantes en la clase = 60
n(S) = 60
Suponga que NCC sea ‘A’ y NSS sea ‘B’
n(A) = 30, n(B) = 32 , n(A∩B) = 24
P(A) = n(A)/n(S)
= 30/60
= 1/2
P(B) = n(B)/n(S)
= 32/60
= 8/15
PAG(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S)
= 24/60
= 2/5
(i) El estudiante optó por NCC o NSS.
P (A o B) = P (A) + P (B) – P (A y B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (1/2)+ (8/15) – (2/5)
= 19/30
(ii) P (el estudiante no optó por NCC ni NSS)
P(ni A ni B) = P(A’ ∩ B’)
Sabemos que, P(A’ ∩ B’) = 1 – P(A ∪ B)
= 1 – (19/30)
= 11/30
(iii) P (el estudiante optó por NSS pero no por NCC)
n(B – A) = n(B) – n (A ∩ B)
32 – 24 = 8
= (8/60) = 2/15
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por subhashkarthik1505 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA