Pregunta 1: Una caja contiene 10 canicas rojas, 20 canicas azules y 30 canicas verdes. Se sacan 5 canicas de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que
(i) todo será azul? (ii) al menos uno será verde?
Solución:
El número total de canicas en la caja = 10 + 20 + 30 = 60 canicas
Como se sacan 5 canicas de la caja a la vez, el número de maneras de sacarlas = 60 C 5
i) todo será azul.
todas las canicas serían azules cuando, de 20 canicas azules, se saquen 5.
Entonces, el número de formas de sacar 5 canicas azules = 20 C 5
Por lo tanto, la probabilidad de sacar todas las canicas azules = 20 C 5 ÷ 60 C 5
ii) al menos uno será verde.
la cantidad de formas en que la canica extraída no es verde = cantidad de formas en que se extrae una canica roja + cantidad de formas en que se extraen canicas azules
es decir , 10 C 5 + 20 C 5 = (10+20) C 5 = 30 C 5
la probabilidad de que ninguna canica sea verde = 30 C 5
Entonces, la probabilidad de obtener al menos una canica verde = 1 – la probabilidad de no obtener ninguna canica verde = 1 – 30 C 5
Pregunta 2: Se extraen 4 cartas de un mazo bien barajado de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 diamantes y una espada?
Solución:
el número total de formas en que se pueden sacar 4 cartas de la baraja = 52 C 4
En una baraja de cartas hay 13 diamantes y 13 picas
número de formas de dibujar 3 diamantes = 13 C 3
número de formas de dibujar 1 espada = 13 C 1
número total de formas de dibujar 3 diamantes y 1 espada = 13 C 3 x 13 C 1
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 3 diamantes y 1 espada de una baraja de cartas = ( 13 C 3 x 13 C 1 ) ÷ 52 C 4
Pregunta 3: Un dado tiene dos caras cada una con el número ‘1’, tres caras cada una con el número ‘2’ y una cara con el número ‘3’. Si se lanza el dado una vez, determine
( yo ) P(2)
(ii) P(1 o 3)
(iii) P (no 3)
Solución:
El número total de caras en un dado = 6
(yo) P(2)
el número de caras con el número ‘2’ = 3
entonces, la probabilidad de obtener 2 = P(2) = 3/6 = 1/2
(ii) P(1 o 3)
el número de caras con el número ‘1’ = 2
el número de caras con el número ‘3’ = 1
número total de caras con el número ‘1’ o el número ‘3’ = 1 + 2 = 3
entonces, la probabilidad de obtener el número ‘1’ o ‘3’ = P(1 o 3) = 3/6 = 1/2
Solución alternativa de (ii)
P (1 o 3) = P (no 2) = 1 – P (2) = 1-1/2 = 1/2
(iii) P(no 3 )
el número de caras con el número ‘3’ = 1
probabilidad de obtener 3 = P(3)= 1/6
entonces, la probabilidad de no obtener 3 = P(no 3) = 1 – P(3)
= 1-1/6 = 5/6
Pregunta 4: En cierta lotería se venden 10.000 boletos y se otorgan diez premios iguales. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un premio si compra
(a) un boleto
(b) dos boletos
c) 10 billetes
Solución:
el número total de boletos de lotería vendidos = 10,000
número de premios a otorgar = 10
(a) un boleto
probabilidad de obtener un premio = 10/10000 = 1/1000
probabilidad de no obtener un premio cuando se compra un boleto =
P(no recibir premio) = 1 – P(recibir premio)
P(no recibir premio) = 1 – 1/1000
= 999/1000
(b) dos boletos
Si compramos dos boletos, entonces
el número de boletos no adjudicados = 10000-10
= 9990
número de formas en que podemos comprar dos boletos que no son premiados = 9990 C 2
número de formas en que podemos comprar dos boletos = 10000 C 2
Por lo tanto, la probabilidad de comprar dos boletos sin premio = ( 9990 C 2 ) ÷ ( 10000 C 2 )
c) 10 billetes
Si compramos dos boletos, entonces
el número de boletos no adjudicados = 10000-10
= 9990
número de formas en que podemos comprar diez boletos que no se premian= 9990 C 10
número de formas en que podemos comprar diez boletos = 10000 C 10
Por lo tanto, la probabilidad de comprar diez boletos sin premio = ( 9990 C 10 ) ÷ ( 10000 C 10 )
Pregunta 5: De 100 alumnos se forman dos secciones de 40 y 60. Si tú y tu amigo están entre los 100 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que
(a) ambos entran en la misma sección?
(b) ambos ingresan a las diferentes secciones?
Solución:
Dado que tanto yo como mi amigo estamos entre los 100 estudiantes,
entonces, el número de formas en que podemos seleccionar 2 estudiantes entre 100 estudiantes = 100 C 2
(a) ambos entran en la misma sección.
para estar en la misma sección, podemos estar en la sección de 40 estudiantes o en la sección de 60 estudiantes.
el número total de formas en que ambos estamos en la misma sección = 40 C 2 + 60 C 2
por lo tanto, la probabilidad de que ambos estemos en la misma sección =
= ( 40 C 2 + 60 C 2 ) ÷ ( 100 C 2 )
= ((39×40) + (59×60)) ÷ (99×100)
= 17/33
(b) ambos ingresan a las diferentes secciones .
probabilidad de entrar en las diferentes secciones = 1 – P(entrar en la misma sección)
P(entrando en diferentes secciones) = 1 – 17/33 = 16/33
Pregunta 6. Se dictan tres cartas a tres personas y se dirige un sobre a cada una de ellas, se insertan las cartas en los sobres al azar de modo que cada sobre contenga exactamente una carta. Encuentre la probabilidad de que al menos una letra esté en su sobre adecuado.
Solución :
Deje que las letras se denoten por L1, L2, L3.
Y los sobres se denotarán por E1,E2,E3.
Las cartas se insertan en los sobres y cada sobre contiene exactamente una carta. Las combinaciones que se pueden hacer son:
E1L1 E2L2 E3L3
E1L2 E2L1 E3L3
E1L2 E2L3 E3L1
E1L1 E2L3 E3L2
E1L3 E2L1 E3L2
E1L3 E2L2 E3L1
Entonces, el número total de combinaciones que se pueden hacer es 6.
las combinaciones en las que al menos una letra se encuentra en su propio sobre: E1L1 E2L2 E3L3, E1L3 E2L2 E3L1, E1L1 E2L3 E3L2, E1L2 E2L1 E3L3.
El número de tales combinaciones es 4.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos una letra en su propio sobre = 4/6 = 2/3
Pregunta 7: A y B son dos eventos tales que P(A) = 0,54, P(B) = 0,69 y P(A ∩ B) = 0,35. Encontrar :
(i) P(A ∪ B)
(ii) P(A´ ∩ B´)
(iii) P(A ∩ B´)
(iv) P(B ∩ A ´ )
Solución:
Se da que, P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 y P(A ∩ B) = 0.35.
(i) P(A ∪ B)
sabemos que, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
=> P(A ∪ B) = 0,54 + 0,69 – 0,35 = 0,88
(ii) P(A´ ∩ B´)
sabemos que, por la Ley de De Morgan, (A´ ∩ B´) = (A ∪ B)´
=> P(A´ ∩ B´) = P(A ∪ B)´
= P(A´ ∩ B´) = 1 – P(A ∪ B)
= P(A´ ∩ B´) = 1- 0,88 = 0,12
(iii) P(A ∩ B´)
sabemos que, P(A ∩ B´) = P(A) – P(A ∩ B)
=> P(A ∩ B´) = 0,54 – 0,35 = 0,19
(iv) P(B ∩ A´)
sabemos que, n(B ∩ A´) = n(B) – n(A ∩ B)
(n(B ∩ A´) ÷ n(S) ) = (n(B) ÷ n(S)) – (n(A ∩ B) ÷ n(S))
=> P(B ∩ A´) = P(B) – P(A ∩ B)
=> P(B ∩ A´) = 0,69 – 0,35 = 0,34
Pregunta 8. De los empleados de una empresa, se seleccionan 5 personas para que los representen en el comité de dirección de la empresa. Los datos de cinco personas son los siguientes:
| S.No | Nombre | Sexo | Edad en años |
| 1. | harish | METRO | 30 |
| 2. | Rohan | METRO | 33 |
| 3. | Lámina | F | 46 |
| 4. | alís | F | 28 |
| 5. | Salim | METRO | 41 |
Se selecciona al azar una persona de este grupo para que actúe como portavoz. ¿Cuál es la probabilidad de que el vocero sea hombre o mayor de 35 años?
Solución:
Número total de empleados en la empresa = 5
Número de hombres en empleados = 3
número de personas mayores de 35 años = 2
número de personas que son hombres y mayores de 35 años = 1
la probabilidad de seleccionar un macho = 3/5 = P(E)
la probabilidad de seleccionar una persona mayor de 35 años = 2/5 = P(F)
P(E∩F) = 1/5
Entonces, la probabilidad de seleccionar al vocero que sea hombre o mayor de 35 años = P(E∪F)
=> P(E∪F) P(E) + P(F) – P(E∩F)
=> P(E∪F) = 3/5 + 2/5 – 1/4 = 4/5
Pregunta 9. Si números de 4 dígitos mayores que 5000 se forman aleatoriamente a partir de los dígitos 0, 1, 3, 5 y 7, ¿cuál es la probabilidad de formar un número divisible por 5 cuando,
(i) los dígitos se repiten? (ii) no se permite la repetición de dígitos?
Solución:
(i) los dígitos se repiten.
Como tenemos que hacer números de 4 dígitos mayores que 5000, el dígito más a la izquierda podría ser 5 o 7.
los 3 dígitos restantes se pueden completar con cualquiera de los dígitos 0,1,3,5 y 7, ya que se permite la repetición. Entonces, el número total formado mayor a 5,000 son
= 2x5x5x5 = 250
Un número es divisible por 5 si el lugar de uno está ocupado por 0 o por 5. Los números que se pueden formar que son divisibles por 5 son
= 2x5x5x2 = 100
Entonces, la probabilidad de formar números que son divisibles por 5 =
=> 100/250 = 2/5
(ii) no se permite la repetición de dígitos.
para hacer números de 4 dígitos mayores que 5,000 el lugar más a la izquierda, es decir, el lugar de los miles se puede llenar con 5 o 7.
los 3 lugares restantes se pueden llenar con los otros 4 dígitos. Entonces, los números totales formados mayores de 5,000 cuando no se permite la repetición son
= 2x4x3x2 = 48
Un número es divisible por 5 si el lugar de uno está ocupado por 5 o por 0.
cuando el lugar de los mil lo ocupa 5 y el lugar de uno solo se puede llenar con 0 para ser divisible por 5. y el resto de los lugares se pueden llenar con los 3 dígitos restantes.
los numeros que se pueden formar comenzando por 5 y terminando en 0 son = 1 x 3 x 2x 1 = 6
y cuando el lugar del millar lo ocupa 7 y el lugar de la unidad se puede llenar con 0 o 5 para ser divisible por 5, el resto de los lugares se pueden llenar con los 2 dígitos restantes.
los numeros que se pueden formar comenzando por 7 y terminando en 5 o 0 son = 1 x 3 x 2 x 2 = 12
los números totales formados mayores de 5.000 y divisibles por 5 cuando no se permite la repetición de dígitos = 12 + 6 = 18
Entonces, la probabilidad de formar números divisibles por 5 cuando no se permite la repetición =
=> 18/48 = 3/8
Pregunta 10. El candado numérico de una maleta tiene 4 ruedas, cada una etiquetada con diez dígitos, es decir, del 0 al 9. El candado se abre con una secuencia de cuatro dígitos sin repeticiones. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona obtenga la secuencia correcta para abrir la maleta?
Solución:
Aquí, el candado numérico tiene 4 ruedas, cada una etiquetada con diez dígitos, es decir, del 0 al 9.
el número de formas de seleccionar 4 dígitos de 10 dígitos = 10 C 4
como hay 4 ruedas, cada combinación hecha se puede arreglar en 4! maneras.
número de combinaciones de 4 dígitos que se pueden hacer cuando no se repite ningún dígito = 10 C 4 x 4! = 5040
Como solo hay una secuencia que puede abrir la maleta.
Por lo tanto, la probabilidad requerida es 1/5040.
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Artículo escrito por riyaaggarwaldtu y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA