Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 2 Relación y funciones – Ejercicio 2.2

Problema 1: Sea A = {1, 2, 3,…,14}. Defina una relación R de A a A por R = {(x, y) : 3x – y = 0, donde x, y ∈ A}. Escribe su dominio, codominio y rango.

Solución:

Dado, A = {1, 2, 3,…,14}. 
Aquí, la relación R de A a A está dada por, R = {(x, y): 3x – y = 0, donde x, y ∈ A} 
Entonces, la relación R = {(1,3), (2, 6), (3,9), (4,12)} 

Ahora bien, sabemos que el dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Dominio de R = {1, 2, 3, 4} 

Ahora, Aquí el conjunto completo A es el Codominio de la relación R. 
Entonces, Co-Dominio de R = {1, 2, 3, 4,….,14} 

Ahora, sabemos que el rango de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Rango de R = {3, 6, 9, 12}

Problema 2: Definir una relación R sobre el conjunto N de números naturales por R = {(x, y) : y = x + 5, x es un número natural menor que 4; x, y ∈N}. Describa esta relación utilizando el formulario de lista. Escribe el dominio y el rango.

Solución:

Aquí, la relación R viene dada por, R = {(x, y): y = x + 5, x es un número natural menor que 4; x, y ∈N} 
Ahora bien, como sabemos que los números naturales menores que 4 son 1, 2 y 3 
, entonces la relación R = {(1,6), (2,7), (3,8)} 

Ahora bien, sabemos que el dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Dominio de R = {1, 2, 3} 

Ahora, sabemos que el rango de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Rango de R = {6, 7, 8}

Problema 3: A = {1, 2, 3, 5} y B = {4, 6, 9}. Defina una relación R de A a B por R = {(x, y): la diferencia entre xey es impar; x ∈ A, y ∈ B}. Escriba R en forma de lista.

Solución:

Dado, A = {1, 2, 3, 5} y B = {4, 6, 9} 
Aquí, la relación de A a B está dada por, R = {(x, y): la diferencia entre x e y es impar; x ∈ A, y ∈ B} 
Entonces, relación R = {(1,4), (1,6), (2,9), (3,4), (3,6), (5,4), (5,6)}

Problema 4: La figura 2.7 muestra una relación entre los conjuntos P y Q. Escriba esta relación:

(i) en forma de constructor de conjuntos 

(ii) formulario de lista. 

¿Cuál es su dominio y rango?

Solución:

De la figura dada, podemos ver que – 
P = {5, 6, 7} y Q = {3, 4, 5} 
Ahora, la relación entre los conjuntos P y Q – 

(i) En forma de constructor de conjuntos

R = {(x, y): y = x – 2; x ∈ P} ‘o’ R = {(x, y): y = x – 2 para x = 5, 6, 7} 

(ii) En forma de lista

R = {(5,3), (6,4), (7,5)} 

Ahora bien, sabemos que el dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Dominio de R = {5, 6, 7} = P. 

Ahora, sabemos que el rango de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Rango de R = {3, 4, 5} = Q.

Problema 5: Sea A = {1, 2, 3, 4, 6}. Sea R la relación sobre A definida por –

{(a, b): a, b ∈ A, b es exactamente divisible por a}.

(i) Escriba R en forma de lista.

(ii) Encuentre el dominio de R.

(iii) Encuentre el rango de R.

Solución:

Dado, A = {1, 2, 3, 4, 6} 
Aquí, la relación R en A viene dada por, R = {(a, b): a , b ∈ A, b es exactamente divisible por a} 

(i) La relación R en forma de lista será – 
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,2) , (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (6,6)} 

(ii) Sabemos que el dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Dominio de R = {1, 2, 3, 4, 6} 

(iii) Sabemos que el rango de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Rango de R = {1, 2, 3, 4, 6}

Problema 6: Determinar el dominio y rango de la relación R definida por R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}.

Solución:

Aquí, la relación R viene dada por, R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}. 
Entonces, relación R = {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10)} 

Ahora bien, sabemos que el dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Dominio de R = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 

Ahora, sabemos que el rango de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. 
Entonces, Rango de R = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Problema 7: Escribe la relación R = {(x, x ³ ) : x es un número primo menor que 10} en forma de lista.

Solución: 

Aquí, la relación R está dada por, R = {(x, x ³ ) : x es un número primo menor que 10} 
Ahora, como sabemos que los números primos menores que 10 son 2, 3, 5 y 7. 
Entonces , relación R = {(2,8), (3,27), (5,125), (7,343)}

Problema 8: Sean A = {x, y, z} y B = {1, 2}. Encuentra el número de relaciones de A a B.

Solución:

Dado, A = {x, y, z} y B = {1, 2}. 
Ahora, número de elementos en el conjunto A, n(A) = 3 
y número de elementos en el conjunto B, n(B) = 2 
Entonces, n(A × B) = n(A) × n(B) = 6. 
Sabemos que, el número de relaciones de A a B = 2 ^{n(A × B)} = 2 ⁶ = 64. 

‘O’ 

Dado, A = {x, y, z} y B = {1, 2}. 
Ahora, A × B = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (z,1), (z,2)} 
Aquí, el número de elementos en A × B, n(A × B) = 6 
Por lo tanto, el número de subconjuntos de A × B = 2 ⁶ = 64 
Por lo tanto, el número de relaciones de A a B es 64.

Problema 9: Sea R la relación sobre Z definida por R = {(a,b): a, b ∈ Z, a – b es un número entero}. Encuentre el dominio y el rango de R.

Solución:

Aquí, la relación R está dada por, R = {(a, b): a, b ∈ Z, a – b es un número entero} 
Como sabemos, la diferencia entre dos números enteros es siempre un número entero. 
Entonces, Dominio de R = Z y Rango de R = Z.