Pregunta 1. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Dar razones. Si es una función, determine su dominio y rango.
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
Solución:
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
Aquí, cada elemento en el dominio tiene una imagen única/distinta. Entonces, la relación dada es una función.
Dominio = {2, 5, 8, 11, 14, 17}
Rango de la función = {1}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
Aquí, cada elemento en el dominio tiene una imagen única/distinta. Entonces, la relación dada es una función.
Dominio = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Rango de función = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
Esta relación no es una función ya que un elemento 1 corresponde a dos elementos/imágenes, es decir, 3 y 5.
Por lo tanto, esta relación no es una función.
Pregunta 2. Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función real:
(yo) f(x) = –|x|
(ii) f(x) = √(9 – x 2 )
Solución:
(i) Dado,
f(x) = –|x|, x ∈ R
Sabemos que, |x| =
X si x >= 0 -X si x < 0 Aquí f(x) = -x =
-X x >= 0 X xo < 0 Como f(x) está definida para x ∈ R, el dominio de f es R.
También se ve que el rango de f(x) = –|x| es todos los números reales excepto los números reales positivos.
Por lo tanto, el rango de f viene dado por (–∞, 0].
(ii) f(x) = √(9 – x 2 )
Como √(9 – x 2 ) se define para todos los números reales mayores o iguales a –3 y menores o iguales a 3, para 9 – x 2 ≥ 0.
|x| <=3
Entonces, el dominio de f(x) es {x: –3 ≤ x ≤ 3} o Dominio de f = [–3, 3].
Para cualquier valor de x en el rango [–3, 3], el valor de f(x) estará entre 0 y 3.
Por lo tanto, el rango de f(x) es {x: 0 ≤ x ≤ 3} o podemos decir Rango de f = [0, 3].
Pregunta 3. Una función f está definida por f(x) = 2x – 5. Escribe los valores de
(i) f(0), (ii) f(7), (iii) f(–3)
Solución:
Dada, función, f(x) = 2x – 5.
(i) f(0) = 2 × 0 – 5 = 0 – 5 = –5
(ii) f(7) = 2 × 7 – 5 = 14 – 5 = 9
(iii) f(–3) = 2 × (–3) – 5 = – 6 – 5 = –11
Pregunta 4. La función ‘t’ que mapea la temperatura en grados Celsius a la temperatura en grados Fahrenheit se define por t(C) = 9C/5 + 32.
Encuentre (i) t (0) (ii) t (28) (iii) t (–10) (iv) El valor de C, cuando t(C) = 212
Solución :
Aquí en ques, se da que:
t(C) = 9C / 5 +32
Entonces, (i) t(0) = 9(0) / 5 + 32
= 0 + 32
= 32
(ii) t(28) = 9(28) / 5 + 32
Tomando MCM y resolviendo,
= ( 252 +160 ) / 5
= 412 / 5
(iii) t(-10) = 9(-10) / 5 + 32
= -18 + 32
= 14
(iv) Aquí, en esta pregunta tenemos que encontrar el valor de C.
Dado que , t(C) = 212,
9C / 5 + 32 = 212
9C / 5 = 180
9C = 180 X 5
C = 100
El valor de C es 100.
Pregunta 5. Encuentra el rango de cada una de las siguientes funciones.
(i) f(x) = 2 – 3x, x ∈ R, x > 0.
(ii) f(x) = x2 + 2, x es un número real.
(iii) f(x) = x, x es un número real.
Solución:
(i) Dado f (x) = 2 – 3x, x ∈ R, x > 0
∵ x > 0 ⇒ -3x < 0 (Multiplicando ambos lados por -3)
⇒ 2 – 3x < 2 + 0 ⇒ f (x) < 2
∴ Por lo tanto, el rango de f (x) es (-∞, 2).
(ii) Dado f (x) = x 2 + 2, x es un número real
Sabemos x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 ≥ 0 + 2
⇒ x 2 + 2 > 2 ∴ f (x) ≥ 2
∴ Por lo tanto, el rango de f (x) es [2, ∞).
(iii) Dado f (x) = x, x es un número real.
Sea y = f (x) = x ⇒ y = x
∴ Rango de f (x) = Dominio de f (x)
∴ Por lo tanto, el rango de f (x) es R. (f (x) toma todos los valores reales)