Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 6 Desigualdades lineales – Ejercicio 6.1 | conjunto 2

Capítulo 6 Desigualdades Lineales – Ejercicio 6.1 | Serie 1

Pregunta 13. 2 (2x + 3) – 10 < 6 (x – 2)

Solución:

Dado, 2(2x + 3) – 10 < 6 (x – 2)
Al multiplicar obtenemos
4x + 6 – 10 < 6x – 12
Al simplificar obtenemos
4x – 4 < 6x – 12
– 4 + 12 < 6x – 4x
8 < 2x
4 < x
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada están definidas por todos los números reales mayores o iguales a 4.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones requerido es [4, ∞)

Pregunta 14. 37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8 (x – 3)

Solución:

Dado que, 37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8 (x – 3)
Al simplificar obtenemos 
37 – 3x – 5 ≥ 9x – 8x + 24 
32 – 3x ≥ x + 24
Al reordenar 
32 – 24 ≥ x + 3x 
8 ≥ 4x 
2 ≥ x
Todos los números reales de x que son menores o iguales que 2 son las soluciones de la ecuación dada
Por lo tanto, (-∞, 2] será la solución para la ecuación dada

Pregunta 15. x/4<(5x-2)/3-(7x-3)/5

Solución:

Dado, x/4<(5x-2)/3-(7x-3)/5
Tomando 15 como el mcm del lado derecho
x/4<(5(5x-2)-3(7x-3))/ 15
Además, simplificando obtenemos,
x/4<((25x-10)-(21x-9))/15
Multiplicando 15 en ambos lados
15x/4<25x-10-21x+9
15x/4<4x-1
Multiplicando por 4 obtenemos
15x < 4 (4x – 1)
15x < 16x – 4
4 < x
Todos los números reales de x que son mayores que 4 son las soluciones de la ecuación dada
Por lo tanto, (4, ∞) será la solución para la ecuación dada

Pregunta 16. (2x-1)/3 >= (3x-2)/4-(2-x)/5

Solución :

Simplifiquemos la inecuación
(2x-1)/3>=(5(3x-2)-4(2-x))/20
(2x-1)/3>=((15x-10)-(8- 4x))/20
(2x-1)/3>=(15x-10-8+4x)/20
(2x-1)/3>=(19x-18)/20
Ahora multiplicando en cruz en ambos lados obtenemos
20 (2x – 1) ≥ 3 (19x – 18) 
40x – 20 ≥ 57x – 54
– 20 + 54 ≥57x – 40x
34 ≥ 17x 
2 ≥ x
∴ Todos los números reales de x menores o iguales a 2 son las soluciones de la ecuación dada
Por lo tanto, (-∞, 2] será la solución para la ecuación dada

Resuelva las desigualdades en los ejercicios 17 a 20 y muestre la gráfica de la solución en cada caso en la recta numérica.

Pregunta 17. 3x – 2 < 2x + 1

Solución:

Dado, 3x – 2 < 2x + 1Resolviendo la desigualdad dada, obtenemos
3x – 2 < 2x + 1 
3x – 2x < 1 + 2 
x < 3
Ahora, la representación gráfica de la solución es la siguiente:
 

Pregunta 18. 5x – 3 ≥ 3x – 5

Solución :

Tenemos,5x – 3 ≥ 3x – 5
Resolviendo la desigualdad dada, obtenemos
5x – 3 ≥ 3x – 5
Al reorganizar obtenemos
 5x – 3x ≥ -5 + 3
Al simplificar 2x ≥ -2
Ahora dividimos por 2 en ambos lados obtener
 x ≥ -1
La representación gráfica de la solución es la siguiente:

 

Pregunta 19. 3 (1 – x) < 2 (x + 4)

Solución:

Dado,3 (1 – x) < 2 (x + 4)
Resolviendo la desigualdad dada, obtenemos
3 (1 – x) < 2 (x + 4)
Multiplicando obtenemos 3 – 3x < 2x + 8
Al reorganizar obtenemos
 3 – 8 < 2x + 3x
 – 5 < 5x
Ahora al dividir 5 en ambos lados obtenemos
-5/5 < 5x/5
 – 1 < x
Ahora, la representación gráfica de la solución es la siguiente:

 

Pregunta 20. x/2>=(5x-2)/3-(7x-3)/5

Solución:

Resolvamos el lado derecho de la inecuación
x/2>=(5(5x-2)-(7x-3)3)/15
x/2>=(25x-10-21x+9)/15
x/2 >=(4x+1)/15
15x ≥ 2 (4x – 1)
15x ≥ 8x -2
15x -8x ≥ 8x -2 -8x
7x ≥ -2
x ≥ -2/7

Ahora, la representación gráfica de la solución es la siguiente:

Pregunta 21. Ravi obtuvo 70 y 75 puntos en la primera prueba de dos unidades. Encuentre las calificaciones mínimas que debería obtener en la tercera prueba para tener un promedio de al menos 60 calificaciones.

Solución:

Supongamos que las calificaciones obtenidas por Ravi en su prueba de la tercera unidad sean x.
De acuerdo con la pregunta, 
todos los estudiantes deben tener un promedio de al menos 60 calificaciones, es decir,
(70 + 75 + x)/3 ≥ 60
145 + x ≥ 180 
x ≥ 180 – 145
x ≥ 35

Así, todos los alumnos deben obtener 35 puntos para tener una media de al menos 60 puntos.

Pregunta 22. Para recibir la calificación ‘A’ en un curso, se debe obtener un promedio de 90 puntos o más en cinco exámenes (cada uno de 100 puntos). Si las calificaciones de Sunita en los primeros cuatro exámenes son 87, 92, 94 y 95, encuentre las calificaciones mínimas que Sunita debe obtener en el quinto examen para obtener la calificación ‘A’ en el curso.

Solución:

Supongamos que Sunita obtuvo x puntos en su quinto examen
Ahora, según la pregunta
 Para recibir una calificación A en el curso, debe obtener un promedio de 90 puntos o más en sus cinco exámenes, es decir,
(87 + 92 + 94 + 95 + x)/5 ≥ 90
 (368 + x)/5 ≥ 90
 368 + x ≥ 450
 x ≥ 450 – 368 
x ≥ 82
Por lo tanto, debe obtener 82 o más puntos en su quinto examen

Pregunta 23. Encuentre todos los pares de números enteros positivos impares consecutivos que sean menores que 10 de modo que su suma sea mayor que 11.

Solución:

Supongamos que x es el menor de los dos enteros positivos impares consecutivos
Sea otro entero = x + 2
También se da en la pregunta que 
ambos enteros son menores que 10, es decir, 
x + 2 < 10

x< 8 … (a)
Además, en la pregunta se da que la suma de dos enteros es mayor que 11
∴ x + (x + 2) > 11
2x + 2 > 11
x > 9/2
x > 4.5 … (b )
Así, de (a) y (b) tenemos que x es un número entero impar y puede tomar valores de 5 y 7
Por lo tanto, los pares posibles son (5, 7) y (7, 9)

Pregunta 24. Encuentre todos los pares de enteros positivos pares consecutivos, los cuales son mayores que 5, de modo que su suma sea menor que 23.

Solución :

Supongamos que x es el menor de los dos números enteros pares positivos consecutivos
Sea otro número entero = x + 2
También se da en la pregunta que ambos números enteros son mayores que 5∴
 x > 5 ….(a)
Además, es dado en la pregunta que la suma de dos enteros es menor que 23.
∴ x + (x + 2) < 23
2x + 2 < 23
x < 21/2
x < 10.5 …. (b)
Así, de (a y (b) tenemos que x es un número par y puede tomar los valores 6, 8 y 10

Así, los pares posibles son (6, 8), (8, 10) y (10, 12).

Pregunta 25. El lado más largo de un triángulo es 3 veces el lado más corto y el tercer lado es 2 cm más corto que el lado más largo. Si el perímetro del triángulo es de al menos 61 cm, encuentra la longitud mínima del lado más corto.

Solución:

Supongamos que la longitud del lado más corto del triángulo sea x cm
 De acuerdo con la pregunta, 
la longitud del lado más largo = 3x cm
Y la longitud del tercer lado = (3x – 2) cm
Como, el perímetro menor del triángulo = 61 cm
Así, x + 3x + (3x – 2) cm ≥ 61 cm 
7x – 2 ≥ 61 
7x ≥ 63
Ahora dividamos por 7 obtenemos=
7x/7 ≥ 63/7=
x ≥ 9

Por lo tanto, la longitud mínima del lado más corto será de 9 cm.

Pregunta 26. Un hombre quiere cortar tres trozos de una sola tabla de 91 cm de largo. La segunda longitud debe ser 3 cm más larga que la más corta y la tercera longitud debe ser el doble de larga que la más corta. ¿Cuáles son las longitudes posibles de la tabla más corta si la tercera pieza debe ser al menos 5 cm más larga que la segunda?

Solución:

Supongamos que la longitud de la pieza más corta sea x cm
∴ De acuerdo con la pregunta,
Longitud de la segunda pieza = (x + 3) cm
Y, longitud de la tercera pieza = 2x cm
Como las tres longitudes se van a cortar de una sola pieza de tablero que tiene una longitud de 91 cm
x + (x + 3) + 2x ≤ 91 cm
4x + 3 ≤ 91
4x ≤ 88
4x/4 ≤ 88/4
x ≤ 22 … (i)
Además, se da en la pregunta de que, la tercera pieza es al menos 5 cm más larga que la segunda pieza
2x ≥ (x+3) + 5
2x ≥ x + 8
x ≥ 8 … (ii)
Así, de la ecuación (i) y (ii) tenemos:
8 ≤ x ≤ 22
Por lo tanto, es claro que la longitud de la tabla más corta es mayor o igual a 8 cm y menor o igual a 22 cm