Pregunta 1. Resuelve 24x < 100, cuando
(i) x es un número natural. (ii) x es un número entero.
Solución:
(i) cuando x es un número natural.
Claramente x>0 porque por definición (N =1,2,3,4,5,6…..)
Ahora tenemos que dividir la inecuación por 24 obtenemos x<25/6
Pero x es un número natural que es el la solución será {1,2,3,4}
que es menor que 25/6 y mayor que 0.
Por lo tanto, {…, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4} es el conjunto solución.x={1,2,3,4}
(ii) Dado 24x<100
Ahora dividiremos la ecuación por 24 obtenemos x<25/6
pero de acuerdo con la pregunta x es un número entero, entonces la solución
menor que 25/6 es…-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4
Por lo tanto, {…, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4} es el conjunto solución.
Pregunta 2. Resolver – 12x > 30, cuando
(i) x es un número natural.
(ii) x es un número entero.
Solución:
(i) Dado, – 12x > 30
Ahora, dividiendo la ecuación por -12 en ambos lados obtenemos, x < -5/2 (según la regla, si dividimos por un número entero negativo, el signo de la desigualdad cambia)
Según la pregunta cuando x es un entero natural entonces
Es claro que no hay ningún número natural menor que -2/5 ya que el resultado de -2/5 será negativo y x es menor que el resultado pero el número natural contiene solo números positivos
Por lo tanto , no habría ninguna solución de la ecuación dada cuando x es un número natural (x>0).(ii) Dado que, – 12x > 30
Ahora, dividiendo la ecuación por -12 en ambos lados obtenemos, x < -5/2 (Como se explicó anteriormente, por qué cambia el signo)
Según la pregunta, ahora x es un número entero, entonces
está claro que los números enteros menores que -5/2 son…, -6.-5, -4, – 3
Así, la solución de – 12x > 30 es…,-6,-5, -4, -3, cuando x es un número entero.
Por tanto, el conjunto solución es {…,-6, -5, -4, -3}
Pregunta 3. Resuelve 5x – 3 < 7, cuando
(i) x es un número entero
(ii) x es un número real
Solución:
(i) Dado 5x – 3 < 7
Ahora sumemos 3 en ambos lados y obtenemos,
5x – 3 + 3 < 7 + 3
La ecuación anterior se convierte en
5x < 10
Nuevamente dividamos ambos lados entre 5 y obtenemos
5x/5 < 10 /5
x < 2
Como en la pregunta x es un número entero, entonces
está claro que los números enteros menores que 2 son…, -3, -2, -1, 0, 1.
Por lo tanto, la solución de 5x – 3 < 7 es …, -3,-2, -1, 0, 1, cuando x es un número entero.
Por tanto, el conjunto solución es {…, -3.-2, -1, 0, 1}(ii) Dado que, 5x – 3 < 7
Ahora sumemos 3 en ambos lados obtenemos,
5x – 3 + 3 < 7 + 3
La ecuación anterior se convierte en
5x < 10
De nuevo dividamos ambos lados entre 5 obtenemos,
5x/ 5 < 10/5
x < 2
Según la pregunta x es un número real (x ∈ R), entonces
está claro que las soluciones de 5x – 3 < 7 estarán dadas por x < 2, es decir, establece que todos los números reales que son menores que 2.
Por lo tanto, el conjunto solución es x ∈ (-∞, 2)
Pregunta 4. Resuelve 3x + 8 > 2, cuando
(i) x es un número entero.
(ii) x es un número real.
Solución:
(i) Dado, 3x + 8 > 2
Ahora restemos 8 de ambos lados obtenemos,
3x + 8 – 8 > 2 – 8
La ecuación anterior se convierte en,
3x > – 6
Nuevamente dividamos ambos lados por 3 obtener,
3x/3 > -6/3
Por lo tanto, x > -2
Según la pregunta x es un número entero, entonces
está claro que el número entero mayor que -2 son -1, 0, 1, 2, 3,…
Por lo tanto, la solución de 3x + 8 > 2 es -1, 0, 1, 2, 3,… cuando x es un número entero.
Por tanto, el conjunto solución es {-1, 0, 1, 2, 3,…}(ii) Dado 3x + 8 > 2
Ahora restemos 8 de ambos lados y obtenemos,
3x + 8 – 8 > 2 – 8
La ecuación anterior se convierte en
3x > – 6
De nuevo, dividamos ambos lados entre 3 y obtenemos
3x /3 > -6/3
Por lo tanto, x > -2
Según la pregunta, x es un número real.
Es claro que las soluciones de 3x + 8 >2 estarán dadas por x > -2 lo que establece que todos los números reales que son mayores que -2.
Por tanto, el conjunto solución es x ∈ (-2, ∞)
Pregunta 5. 4x + 3 < 5x + 7
Solución:
Dado, 4x + 3 < 5x + 7
Ahora restemos 7 de ambos lados, obtenemos
4x + 3 – 7 < 5x + 7 – 7
La ecuación anterior se convierte en
4x – 4 < 5
Nuevamente restemos 4x de ambos lados lados, obtenemos
4x – 4 – 4x < 5x – 4x
x > – 4Así, la solución de la ecuación dada está definida por todos los números reales mayores que -4.
El conjunto de soluciones requerido es (-4, ∞)
Pregunta 6. 3x – 7 > 5x – 1
Solución:
Dado, 3x – 7 > 5x – 1
Ahora sumemos 7 a ambos lados, obtenemos
3x – 7 +7 > 5x – 1 + 7
3x > 5x + 6
Nuevamente restemos 5x de ambos lados,
3x – 5x > 5x + 6 – 5x
-2x > 6
Ahora dividamos ambos lados por -2 para simplificar obtenemos
-2x/-2 < 6/-2
x < -3
Las soluciones de la desigualdad dada están definidas por todos los números reales menos de 3.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones requerido es (-∞, -3)
Pregunta 7. 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)
Solución:
Dado, 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)
Después de multiplicar, la inecuación anterior se puede escribir como
3x – 3 ≤ 2x – 6
Ahora sumamos 3 a ambos lados, obtenemos
3x – 3+ 3 ≤ 2x – 6+ 3
3x ≤ 2x – 3
Nuevamente restemos 2x de ambos lados,
3x – 2x ≤ 2x – 3 – 2x
x ≤ -3
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada están definidas por todos los números reales menores que o igual a -3.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones requerido es (-∞, -3]
Pregunta 8. 3 (2 – x) ≥ 2 (1 – x)
Solución:
Dado, 3 (2 – x) ≥ 2 (1 – x)
Después de multiplicar, la ecuación anterior se puede escribir como
6 – 3x ≥ 2 – 2x
Ahora agreguemos 2x a ambos lados,
6 – 3x + 2x ≥ 2 – 2x + 2x
6 – x ≥ 2
Nuevamente restemos 6 de ambos lados, obtenemos
6 – x – 6 ≥ 2 – 6
– x ≥ – 4
Ahora multiplicando la ecuación por signo negativo obtenemos
x ≤ 4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada está definida por todos los números reales mayores o iguales a 4.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones requerido es (- ∞, 4]
Pregunta 9. x + x/2 + x/3 < 11
Solución:
Dado, x + x/2 + x/3 < 11
Ahora tomando 6 como el mcm simplificaremos la ecuación,(6x+3x+2x)/6 <11
11x/6<11
Ahora multipliquemos 6 en ambos lados
11x<66
Ahora dividamos la ecuación por 11 en ambos lados obtenemos,
x<6Por lo tanto, la solución de la ecuación dada está definida por todos los números reales menores que 6.
Por lo tanto, el conjunto solución es (-∞, 6)
Pregunta 10. x/3 > x/2 + 1
Solución:
Dado x/3 > x/2 + 1
Primero, moveremos todos los términos que contienen x al lado izquierdo obtenemos,
x/3-x/2>1
Ahora tomando 6 como mcm obtenemos
(2x-3x )/6>1
-x/6>1
Ahora multiplicando 6 en ambos lados obtenemos,
-x>6
Ahora multiplicando por -1 en ambos extremos
x<6
Por lo tanto, la solución de la ecuación dada está definida por todos los números reales menores que – 6.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones requerido es (-∞, -6)
Pregunta 11. 3(x – 2)/5 ≤ 5 (2 – x)/3
Solución:
Dado, 3(x – 2)/5 ≤ 5 (2 – x)/3
Ahora al multiplicar en cruz los denominadores, obtenemos
9(x- 2) ≤ 25 (2 – x)
9x – 18 ≤ 50 – 25x
Ahora sumamos 25x ambos lados,
9x – 18 + 25x ≤ 50 – 25x + 25x
34x – 18 ≤ 50
Sumamos 25x ambos lados,
34x – 18 + 18 ≤ 50 + 18
34x ≤ 68
Dividiendo ambos lados por 34 ,
34x/34 ≤ 68/34
x ≤ 2
Por lo tanto, la solución de la ecuación dada está definida por todos los números reales menores o iguales a 2.
Por lo tanto, el conjunto solución es (-∞, 2]
Pregunta 12. 1/2(3x/5+4)>=1/3(x-6)
Solución:
Dado, 1/2(3x/5+4)>=1/3(x-6)
Ahora multipliquemos en cruz,
3(3x/5+4)>=2(x-6)
Ahora multipliquemos los términos respectivos en ambos lados
9x/5+12>=2x-12
Ahora restando 12 en ambos lados
9x/5+12-12 >= 2x-12-12
9x/5>=2x-24
Ahora multiplicando por 5 ambos lados,
9x>=10x-120
Ahora restando 10x ambos lados.
-x>=-120
Ahora multiplicando con -1 ambos lados
x <= 120
Así, las soluciones de la ecuación dada están definidas por todos los números reales menores o iguales a 120.
Así, (-∞, 120] es el conjunto de soluciones requeridas.