Pregunta 1. ¿Cuántas palabras, con o sin significado, cada una de 2 vocales y 3 consonantes se pueden formar con las letras de la palabra HIJA?
Solución:
En la palabra “HIJA”, hay 3 vocales, a saber, A, U, E, y 5 consonantes, a saber, D, G, H, T, R.
El número de formas de seleccionar 2 vocales de 3 = 3 C 2 =
= 3.
El número de formas de seleccionar 3 consonantes de 5 = 5 C 3 =
=10.
Por tanto, el número de combinaciones de 2 vocales y 3 consonantes es 3 x 10 = 30.
¡Ahora, cada una de estas 30 combinaciones tiene 5 letras que pueden organizarse entre sí en 5! maneras.
Por lo tanto, ¡el número requerido de palabras diferentes es 30 x 5! = 30×120 = 3600
Pregunta 2. ¿Cuántas palabras, con o sin significado, se pueden formar usando todas las letras de la palabra ECUACIÓN a la vez para que las vocales y las consonantes aparezcan juntas?
Solución:
Hay 8 letras diferentes en la palabra “ECUACIÓN”, en las que hay 5 vocales, a saber, A, E, I, O y U y 3 consonantes, a saber, Q, T y N. Dado que las vocales y las consonantes tienen que aparecer juntos, asumen todas las vocales como un objeto (AEIOU) y todas las consonantes como otro (QTN). Entonces, hay 2 objetos ahora.
Entonces, permutaciones de estos 2 objetos tomados todos a la vez = 2 P 2 = 2! =2.
¡Dentro del grupo de vocales, tenemos 5! Posibles permutaciones y 3! permutaciones dentro del grupo de consonantes.
Por lo tanto, el número requerido de permutaciones = 2! x5! x3! = 1440.
Pregunta 3. Se tiene que formar un comité de 7 de 9 niños y 4 niñas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto cuando el comité está formado por: (i) exactamente 3 niñas? (ii) al menos 3 niñas? (iii) como máximo 3 niñas?
Solución:
(i) Tenemos que seleccionar 7 miembros de 13 (9 niños + 4 niñas).
Si hay exactamente 3 chicas en cada combinación, entonces
El número de formas de seleccionar 3 chicas de 4 = 4 C 3 =
= 4
El número de formas de seleccionar 4 niños de 9 = 9 C 4 =
= 126
Por lo tanto, el número total de formas de formar un comité con exactamente 3 niñas = 126 x 4 = 504
(ii) Dado que el equipo debe estar formado por al menos 3 niñas, el equipo puede estar formado por
3 niñas y 4 niños, o 4 niñas y 3 niños.
Caso 1: El equipo puede estar formado por 3 chicas y 4 chicos:
Entonces, de (i), tenemos,
Número total de formas de seleccionar 3 niñas y 4 niños = 126 x 4 = 504
Caso 2: El equipo puede estar formado por 4 chicas y 3 chicos:
Número total de formas de seleccionar 4 niñas y 3 niños = 4 C 4 x 9 C 3 = 1 x 84 = 84
Por lo tanto, número total de formas de formar un comité con al menos 3 niñas = 504 + 84 = 588
(iii) Dado que el equipo debe estar formado por un máximo de 3 niñas, el equipo puede estar formado por
3 niñas y 4 niños, o 2 niñas y 5 niños, o 1 niña y 6 niños, o 7 niños
Caso 1: El equipo puede estar formado por 3 chicas y 4 chicos
Número total de formas de seleccionar 3 niñas y 4 niños = 126 x 4 = 504
Caso 2: El equipo puede estar formado por 2 chicas y 5 chicos
Número total de formas de seleccionar 2 niñas y 5 niños = 4 C 2 x 9 C 5 =
= 126 x 6 = 756
Caso 3: El equipo puede estar formado por 1 niña y 6 niños
Número total de formas de seleccionar 1 niña y 6 niños = 4 C 1 x 9 C 6 =
= 84 x 4 = 336
Caso 4: El equipo puede estar formado por 7 chicos
El número de formas de seleccionar 7 niños de 9 = 9 C 7 =
= 36
Por lo tanto, número total de formas de formar un comité con un máximo de 3 niñas = 504 + 756 + 336 + 36 = 1632
Pregunta 4. Si las diferentes permutaciones de todas las letras de la palabra EXAMEN se enumeran como en un diccionario, ¿cuántas palabras hay en esta lista antes de la primera palabra que comienza con E?
Solución:
En un diccionario, las palabras están en orden ascendente. Por lo tanto, para este escenario, todas las palabras que comienzan con A vendrán antes de la primera palabra que comienza con E.
Para obtener el número de palabras que comienzan con A, fijamos la letra A en la posición extrema izquierda y luego reorganizamos las 10 letras restantes tomadas todas a la vez. Estas 10 letras incluyen I y N 2 veces.
Por lo tanto, el número de palabras que comienzan con A =
= 907200.
Por lo tanto, hay 907200 palabras en la lista antes de la primera palabra que comienza con E.
Pregunta 5. ¿Cuántos números de 6 dígitos se pueden formar con los dígitos 0, 1, 3, 5, 7 y 9 que son divisibles por 10 y no se repite ningún dígito?
Solución:
Sabemos que un número es divisible por 10 si tiene 0 en su lugar de unidad. Por lo tanto, 0 se fijará en el último lugar de un número.
Los 5 lugares restantes se pueden llenar con cualquier dígito 1, 3, 5, 7 o 9. ¡Estos 5 dígitos se pueden colocar en 5 lugares en 5 P 5 = 5! maneras.
¡Por lo tanto, los números de 6 dígitos que se pueden formar que son divisibles por 10 = 5! = 120.
Pregunta 6. El alfabeto inglés tiene 5 vocales y 21 consonantes. ¿Cuántas palabras con dos vocales diferentes y 2 consonantes diferentes se pueden formar a partir del alfabeto?
Solución:
Tenemos que seleccionar 2 vocales de 5 y 2 consonantes de 21.
El número de formas de seleccionar 2 vocales de 5 = 5 C 2 =
= 10
El número de formas de seleccionar 2 consonantes de 21 = 21 C 2 =
= 210
¡Permutaciones de estos 4 alfabetos tomados todos a la vez = 4 P 4 = 4! = 24.
Por lo tanto, se puede formar un número de palabras con 2 vocales diferentes y 2 consonantes diferentes = 10 x 210 x 24 = 50400
Pregunta 7. En un examen, un cuestionario consta de 12 preguntas divididas en dos partes, es decir, Parte I y Parte II, que contienen 5 y 7 preguntas, respectivamente. Se requiere que un estudiante responda 8 preguntas en total, seleccionando al menos 3 de cada parte. ¿De cuántas maneras puede un estudiante seleccionar las preguntas?
Solución:
Dado que se requiere intentar al menos 3 preguntas de cada parte, la selección de preguntas puede ser
Caso 1: (3, 5), o (b)(4, 4), o (c) (5, 3) ……(Preguntas de la Parte I, Preguntas de la Parte 2)
La Parte I consta de 5 preguntas y la Parte II consta de 7 preguntas.
Entonces, Número de formas de seleccionar 3 preguntas de la Parte I = 5 C 3 =
Número de formas de seleccionar 5 preguntas de la Parte II = 7 C 5 =
= 21
Por lo tanto, número total de formas para este tipo de selección de preguntas = 10 x 21 = 210
Caso 2: Número de formas de seleccionar 4 preguntas de la Parte I = 5 C 4 =
= 5
Número de formas de seleccionar 4 preguntas de la Parte II = 7 C 4 =
= 35
Por lo tanto, número total de formas para este tipo de selección de preguntas = 5 x 35 = 175
Caso 3: Número de formas de seleccionar 5 preguntas de la Parte I = 5 C 5 = 1
Número de formas de seleccionar 3 preguntas de la Parte II = 7 C 3 =
= 35
Por lo tanto, número total de formas para este tipo de selección de preguntas = 1 x 35 = 35
Por lo tanto, un estudiante puede seleccionar las preguntas de 210 + 175 + 35 = 420 formas.
Pregunta 8. Determine el número de combinaciones de 5 cartas de una baraja de 52 cartas si cada selección de 5 cartas tiene exactamente un rey.
Solución:
Tenemos que seleccionar 5 cartas de 52 cartas. Si hay exactamente un rey en cada combinación, entonces
Caso 1: Tenemos que seleccionar 1 carta de rey de 4 cartas de rey
Número de formas de seleccionar la carta del rey = 4 C 1 =
= 4
Caso 2: Tenemos que seleccionar 5 – 1 = 4 cartas de las 52 restantes – 4 = 48 cartas
Número de formas de seleccionar las 4 cartas restantes = 48 C 4 =
= 194580
Y, por lo tanto, se requiere un número total de 5 combinaciones de cartas = 4 x 194580 = 778320.
Pregunta 9. Se requiere sentar en fila a 5 hombres y 4 mujeres para que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿Cuántos arreglos de este tipo son posibles?
Solución:
Hay 5 hombres y 4 mujeres. Las mujeres ocupan los lugares pares. Por lo tanto, la posible disposición de los asientos de hombres y mujeres será MWMWMWMWM, donde M denota Hombre y W denota Mujer.
Ahora, 4 mujeres pueden ocupar 4 lugares pares en 4 P 4 = 4! maneras.
Y, 5 hombres pueden ocupar 5 lugares impares en 5 P 5 = 5! maneras.
Por lo tanto, Número total de arreglos posibles:
5! ¡x4! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2880.
Pregunta 10. De una clase de 25 estudiantes, se elegirán 10 para una excursión. Hay 3 estudiantes que deciden que o se unen todos o no se une ninguno. ¿De cuántas maneras se puede elegir el grupo de excursión?
Solución:
De acuerdo con esos 3 estudiantes que deciden unirse a todos ellos o unirse a ninguno, hay 2 casos para la selección de miembros del grupo de excursión:
Caso 1: No seleccione esos 3 estudiantes.
Por lo tanto, seleccione 10 estudiantes de los 25 restantes: 3 = 22 estudiantes.
El número de formas de hacer esto = 22 C 10 = 646646
Caso 2: Seleccione esos 3 estudiantes.
Esto significa que nos faltan 7 estudiantes y estos se pueden seleccionar de los 25 restantes: 3 = 22 estudiantes.
El número de formas de hacer esto = 22 C 7 x 3 C 3 = 170544
Por lo tanto, se requieren varias formas de elegir el grupo de excursión:
646646 + 170544 = 817190
Pregunta 11. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra ASESINATO de modo que todas las S estén juntas?
Solución:
La palabra “ASESINATO” tiene 4 S. Tenemos que juntar todas las S. Por lo tanto, asumiremos un grupo de 4 S como un solo objeto. Este único objeto junto con las 9 letras restantes (objetos) se contarán como 10 objetos para organizar. Estos incluyen 3 A, 2 I y N y 1 T y O.
Entonces, número requerido de formas =
= 151200
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Artículo escrito por hemavatisabu y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA