Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 8 Teorema del binomio – Ejercicio 8.2

Pregunta 1. Encuentra el coeficiente de x 5 en (x+3) 8

Solución: 

El (r+1) ésimo término de (x+3) 8 está dado por T r+1 = 8 C r (x) 8-r (3) r (eq1).

Por lo tanto, para x 5 necesitamos obtener 8-r =5 (Porque necesitamos encontrar x 5 . Por lo tanto, la potencia ox debe ser igual a 5)

Entonces obtenemos r=3.

Ahora, pon r=3 en eq1. Obtenemos,

Coeficiente de x 5 = 8 C 3 (x) 5 (3) 3 = 8!*3 3 /(4!*4!) = 1512

El coeficiente de x 5 es 1512.

Pregunta 2. Encuentra el coeficiente de a 5 b 7 en (a-2b) 12 .

Solución: 

El (r+1) ésimo término de (a-2b) 12 está dado por T r+1 = 12 C r (a) 12-r (-2b) r × (eq1)

En la pregunta se da que el exponente de b es 7. Por lo tanto, r debe ser igual a 7.

Poniendo r=7 en eq1, obtenemos

Coeficiente de a 5 b 7 = 12 C 7 (-2) 7 = -101376

Pregunta 3. Escribe el término general en la expansión de (x 2 −y) 6 .

Solución: 

El término general de la ecuación (a+b) n se da como T r+1 = n C r (a) nr (b) r .

En esta pregunta a= x 2 yb=-y. Después de poner el valor de a, b y n, obtenemos el término general como

V r+1 = 6 C r (x 2 ) (12-r) (-y) 6 = (-1) r 6 C r (x) (12-2r) (y) r .

Pregunta 4. Escribe el término general en la expansión de (x 2 -yx) 12 .

Solución: 

El término general de la ecuación (a+b) n se da como T r+1 = n C r (a) nr (b) r .

En esta pregunta a= x 2 yb=-yx. Después de poner el valor de a, b y n, obtenemos el término general como

T r+1 = 12 C r (x 2 ) (12-r) (-yx) r = (-1) r 12 C r (x) (24-2r) (y) r (x) r = (- 1) r 12 C r (x) (24-r) (y)

Pregunta 5. Encuentra el 4 to término en la expansión de (x-2y) 12

Solución: 

El término general en la expansión de (a+b) se escribe como T r+1 = n C r (a) nr (b) r

En la pregunta se nos da que a = x, b = -2y y n=12.

Para obtener el cuarto término , necesitamos poner r = 3 (Porque r+1=4, por lo tanto, r=3).

Por lo tanto, T 4 = 12 C 3 (x) 12-3 (-2y) 3 = −1760x 9 y 3

Pregunta 6. Encuentra el término 13 en la expansión de (9x-1/3√x) 18

Solución: 

El término general en la expansión de (a+b) n se escribe como T r+1 = n C r (a) nr (b) r

En esta pregunta a = 9x, b= -1/3√x y n=18.

Para obtener el término 13 , necesitamos poner r=12 (Porque r+1=13, por lo tanto, r=12).

Por lo tanto, T 13 = 18 C 12 (9x) 18-12 (-1/3√x) 12 = 18564

Pregunta 7. Encuentra los términos medios en la expansión de (3−x 3 /6) 7 .

Solución: 

En la expansión de (a+b) n , si n es impar, entonces hay dos términos medios, a saber, ((n+1)/2) th y ((n+1)/2+1) th term.

Por lo tanto, los términos medios en la expansión de (3−x 3/6 ) 7 son el 4 ° término y el 5 ° término.

T 4 = T 3+1 = 7 C 3 (3) 7-3 (−x 3 /6) 3 = (-1) 3 7!3 4 x 9 /4!.3!6 3 =-105x 9 / 8

T 5 = T 4+1 = 7 C 4 (3) 7-4 (−x 3 /6) 4 = (-1) 4 7!3 3 x 12 /4!3!6 4 = 35x 12 /48

Así, los términos medios son -105x 9/8 y 35x 12/48 .

Pregunta 8. Encuentra los términos medios en la expansión de (x/3+9y) 10

Solución: 

En la expansión de (a+b) n , si n es par, entonces el término medio es (n/2+1) el término.

Por lo tanto, el término medio es el 6 ° término.

T 6 = T 5+1 = 10 C 5 (x/3) 5 (9y) 5 = (10!x 5 9 5 y 5 )/(5!5!3 5 ) = 61236x 5 y 5

Así, el término medio es 61236x 5 y 5

Pregunta 9. En el desarrollo de (1+a) m+n , demuestre que los coeficientes de a m y an son iguales.

Solución: 

Supongamos que aparece una m en el (r+1) ésimo término, obtenemos

T r+1 = m+n C r (1) m+nr (a) r = m+n C r un r

Comparando los índices de a en a m y en T r+1 , obtenemos r=m

Por tanto, el coeficiente de a m es m+n C m = (m+n)!/m!n! …(1)

Supongamos que un n ocurre en el (k+1) th , obtenemos

T k+1 = m+n C k (1) m+nk (a) k = m+n C k un k

Comparando los índices de a en a n y T k+1 , obtenemos kn

Por lo tanto, el coeficiente de a n es m+n C n = (m+n)!/m!n! ….(2)

Así , de (1) y (2), se puede obtener que los coeficientes de a my an son iguales.

Pregunta 10. Los coeficientes de los (r-1) th , r th y (r+1) th términos en la expansión de (x+1) n están en la proporción de 1:3:5. Encuentre n y r.

Solución: 

(r-1) el término en el desarrollo de (x+1) n es T r-1 = n C r-2 (x) n-(r-2) (1) r-2 = n C r-2 (x) nr+2

r- ésimo término en el desarrollo de (x+1) n es T r = n C r-1 (x) n-(r-1) (1) r-1 = n C r-1 (x) n-r +1

(r+1) el término en el desarrollo de (x+1) n es T r+1 = n C r (x) nr (1) r = n C r (x) nr

Por lo tanto los coeficientes de (r-1) th , r th y (r+1) th en la expansión de (x+1) n son n C r-2 , n C r-1 y n C r respectivamente.

Como estos coeficientes están en la razón de 1:3:5, obtenemos

n C r-2 / n C r -1 = 1/3 y n C r-1 / n C r = 3/5

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos n-4r+5=0 y 3n-8r+3=0.

Después de resolver estas dos ecuaciones, obtenemos n=7 y r=3

Así n=7 yr=3.

Pregunta 11. Demuestre que el coeficiente de x^n en la expansión de (1+x) 2n es el doble del coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n-1 .

Solución: 

En la expansión de (1+x) 2n , T n+1 = 2n C n (1) 2n-n (x) n = 2n C n x n

Por lo tanto, el coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n es 2n C n

2n C n = (2n)!/(n!) 2 ….(1)

De manera similar, el coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n-1 es 2n-1 C n

2n-1 C n = (2n)!/2.(n!) 2 …(2)

De (1) y (2), 2. 2n-1 C n = 2n C n

Por tanto, se prueba que el coeficiente de x n en el desarrollo de (1+x) 2n es el doble del coeficiente de x n en el desarrollo de (1+x) 2n-1

Pregunta 12. Encuentra un valor positivo de m para el cual el coeficiente de x 2 en la expansión de (1+x) m sea 6.

Solución: 

Término general T r+1 = m C r (1) mr (x) r = m C r (x) r

Comparando los índices de x en x 2 y T r+1 , obtenemos r=2

Por lo tanto, m C 2 = 6

\frac{m!}{(2!(m-2)!)} = 6

m!/(m-2)!=12

m(m-1) = 12=> m2 -m -12 = 0

(m-4)(m+3) = 0

m no puede ser negativo. Por lo tanto, m=4

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por aankit71 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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