Conjuntos del Capítulo 1 – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 1 | Serie 1
Pregunta 11: Sean conjuntos A y B. Si A ∩ X = B ∩ X = φ y A ∪ X = B ∪ X para algún conjunto X, demuestre que A = B
Solución:
A = A ∩ (A ∪ X) //ley de absorción
A = A ∩ (B ∪ X) //dado que A ∩ X = B ∩ X
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) //ley distributiva
= (A ∩ B) ∪ φ //dado que A ∩ X = φ
A = (A ∩ B) …(1)
Repitiendo el proceso anterior tomando B = B ∩ (B ∪ X)
Obtenemos B = (A ∩ B) …(2)
de (1) y (2)
A = B
Pregunta 12: Encuentra los conjuntos A, B y C tales que A ∩ B, B ∩ C y A ∩ C son conjuntos no vacíos y A ∩ B ∩ C = φ
Solución:
(A ∩ B) no debe estar vacío significa que al menos un elemento es común entre ellos
… lo mismo para (B ∩ C) y (A ∩ C)
A ∩ B ∩ C = φ significa que no debe haber ningún elemento común en todos los tres conjuntos A, B y C
Sean A = {1,2} B = {2,3} y C = {1,3}
A ∩ B = {2}
B ∩ C = {3}
A ∩ C = { 1}
y A ∩ B ∩ C = φ
Pregunta 13: En una encuesta de 600 estudiantes en una escuela, se encontró que 150 estudiantes tomaban té y 225 tomaban café, 100 tomaban té y café. ¿Cuántos estudiantes no tomaban té ni café?
Solución:
Hay un total de 600 estudiantes
Sean A y B los conjuntos de estudiantes que toman té y café respectivamente
n(A) = 150
n(B) = 225
Estudiantes que toman té y café = n(A ∩ B) = 100
Estudiantes que toman té o café = n(A ∪ B) = ?
Por principio de inclusión-exclusión,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 150 + 225 – 100
= 275
Ahora,
Número de alumnos que no toman té ni café = total de estudiantes – Número de estudiantes que toman té o café
= 600 – 275
= 325
Hay 325 estudiantes que no toman té ni café
Pregunta 14: En un grupo de estudiantes, 100 estudiantes saben hindi, 50 saben inglés y 25 saben ambos. Cada uno de los estudiantes sabe hindi o inglés. ¿Cuántos estudiantes hay en el grupo?
Solución:
Sean A y B los conjuntos de estudiantes que saben hindi e inglés respectivamente
n(A) = 100
n(B) = 50
Número de estudiantes que conocen ambos idiomas = n(A ∩ B) = 25
Se da que cada estudiante sabe uno u otro Hindi o inglés
Por lo tanto, Número de estudiantes en un grupo = n(A ∪ B)
Por principio de inclusión-exclusión,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 100 + 50 – 25
= 125
El total de estudiantes en el grupo es 125
Pregunta 15: En una encuesta de 60 personas, se encontró que 25 personas leen el periódico H, 26 leen el periódico T, 26 leen el periódico I, 9 leen tanto H como I, 11 leen tanto H como T, 8 leen tanto T como I , 3 leer los tres periódicos. Encontrar:
(i) el número de personas que leen al menos uno de los periódicos.
(ii) el número de personas que leen exactamente un periódico
Solución:
(i) Número total de personas en la encuesta = 60
Sean H, I, T los conjuntos de personas que leen el periódico H, I y T respectivamente
n(H) = 25
n(I) = 26
n(T) = 26
Personas que leen ambos H e I = n(H ∩ I) = 9
Personas que leen tanto H como T = n(H ∩ T) = 11
Personas que leen tanto T como I = n(T ∩ I) = 8
Personas que leen los tres periódicos = n (H ∩ I ∩ T) = 3
(i) Número de personas que leen al menos uno de los diarios está dado por n(H ∪ I ∪ T)
Por principio de inclusión-exclusión,
n(H ∪ I ∪ T) = n(H) + n(I) + n(T) – n(H ∩ I) – n(H ∩ T) – n(T ∩ I) + n(H ∩ I ∩ T)
= 25 + 26 + 26 – 9 – 11 – 8 + 3
= 52
Número de personas que leen al menos uno de los periódicos es 52
(ii) Eche un vistazo al siguiente diagrama de Venn
El número de personas que leen exactamente un periódico está representado por el color verde en el diagrama anterior
= n(H ∪ I ∪ T) – n(H ∩ I) – n(H ∩ T) – n(T ∩ I) + (2 xn (H ∩ I ∩ T))
= 52 – 9 – 11 – 8 + (2 x 3)
= 24 + 6
= 30
Número de personas que leen exactamente un periódico son 30
Pregunta 16: En una encuesta se encontró que a 21 personas les gustó el producto A, a 26 les gustó el producto B y a 29 les gustó el producto C. Si a 14 personas les gustaron los productos A y B, a 12 personas les gustaron los productos C y A, a 14 personas les gustaron los productos B y C ya 8 les gustaron los tres productos. Encuentre a cuántos les gustó el producto C solamente.
Solución:
Sean A, B, C representan conjuntos de personas a las que les gustó el producto A, B y C respectivamente
n(A) = 21
n(B) = 26
n(C) = 29
Personas a las que les gustó el producto A y B ambos = n(A ∩ B) = 14
Personas a las que les gustó el producto A y C = n(A ∩ C) = 12
Personas a las que les gustó el producto B y C = n(B ∩ C) = 14
Personas a las que les gustaron los tres productos = n(A ∩ B ∩ C) = 8
Observa el siguiente diagrama de Venn
Número de personas a las que solo les gusta el producto C están representados por el color verde
= n(C) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= 29 – 12 – 14 + 8
= 11
Número de personas a las que solo les gusta el producto C son 11
