Soluciones NCERT de clase 11: conjuntos del capítulo 1: ejercicios varios del capítulo 1 | Serie 1

Pregunta 1: Decide, entre los siguientes conjuntos, qué conjuntos son subconjuntos de uno y otro:

A = {x : x ∈ R y x satisfacen x 2 – 8x + 12 = 0}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8, . . . }, re = {6} 

Solución:

Al principio, simplificando para el conjunto A 
x 2 – 8x + 12 = 0 
(x-6)(x-2) = 0 
x= 6 o 2 
Ahora, A = {2,6} 
Se dice que un conjunto X es un subconjunto de un conjunto Y si todo elemento de X es también un elemento de Y. 
Por lo tanto, podemos escribir: A ⊂ B, A ⊂ C, B ⊂ C, D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C

Pregunta 2: En cada uno de los siguientes, determine si la afirmación es verdadera o falsa.

Si es verdad, demuéstralo. Si es falso, da un ejemplo.

(i) Si x ∈ A y A ∈ B, entonces x ∈ B

(ii) Si A ⊂ B y B ∈ C, entonces A ∈ C

(iii) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C

(iv) Si A ⊄ B y B ⊄ C, entonces A ⊄ C

(v) Si x ∈ A y A ⊄ B, entonces x ∈ B

(vi) Si A ⊂ B y x ∉ B, entonces x ∉ A

Solución:

(i) 
Ejemplo falso: Sea x=1, A={1,2,3} y B = {{1,2,3},{4,5,6}} 
Aquí x ∈ A y A ∈ B pero x ∉ B 
(ii) Falso 
Ejemplo: Sea A = {1}, B = {1,3} y C = {{1,3},{5,7}} 
Aquí A ⊂ B y B ∈ C pero A ∉ C 
(iii) 
Prueba verdadera: A ⊂ B: el conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A 
B ⊂ C: el conjunto C contiene todos los elementos del conjunto B 
Por lo tanto, por la propiedad de transitividad, el conjunto C contiene todos los elementos del conjunto A, es decir, A ⊂ C 
(iv) Falso 
Ejemplo: Sea A = {1,2}, B = {3,4,5} y C = {1,2,6,7} 
Aquí A ⊄ B y B ⊄ C pero A ⊂ C 
( v) Falso 
Ejemplo: Sea x=1, A = {1,2} y B = {3,4,5} 
Aquí x ∈ A y A ⊄ B pero x ∉ B 
(vi) Verdadero 
Prueba : A ⊂ B : El conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A 
Entonces si x ∉ B entonces también x ∉ A

Pregunta 3: Sean A, B y C los conjuntos tales que A ∪ B = A ∪ C y A ∩ B = A ∩ C. Demuestre que B = C.

Solución:

Dado: A ∪ B = A ∪ C …(1)  A ∪
B = A ∩ C …(2) 
A ∪ B = A + B – (A ∩ B) // por principio de inclusión-exclusión 
A ∪ C = A + C – (A ∩ C) // por principio de inclusión-exclusión 
A + B – (A ∩ B) = A + C – (A ∩ C) // de (1) 
A + B – (A ∩ B) = A + C – (A ∩ B) // de (2) 
B = C 

Pregunta 4: Demuestre que las siguientes cuatro condiciones son equivalentes:

(i) UN ⊂ B (ii) UN – B = φ (iii) UN ∪ B = B (iv) UN ∩ B = UN

Solución:

//Mostrar (i)=(ii) 
A ⊂ B significa que el Conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A, es decir, el conjunto A no tiene ningún elemento diferente de B 
Significa A – B = φ 
//Mostrar (i)=(iii ) 
Todos los elementos del conjunto A están en el Conjunto B, por lo que A ∪ B = B 
//Mostrando (i)=(iv) 
Todos los elementos del conjunto A están en el Conjunto B, por lo que A ∩ B = A 
De la explicación anterior podemos decir que todas las condiciones anteriores son equivalentes .

Pregunta 5: Demuestre que si A ⊂ B, entonces C – B ⊂ C – A

Solución:

//Tomando un ejemplo 
Sea A = {1,2} y B = {1,2,3,4,5} 
y C = {2,5,6,7,8} 
El conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A entonces A ⊂ B 
Ahora CB = {6,7,8} //elementos presentes en C pero no en B 
CA = {5,6,7,8} //elementos presentes en C pero no en A 
Se ve claramente que el conjunto CA contiene todos los elementos del conjunto CB, por lo tanto , C – B ⊂ C – A está probado.

Pregunta 6: Suponga que P (A) = P (B). Demostrar que A = B

Solución:

P(X) representa el conjunto potencia del conjunto X 
Para probar A = B tenemos que probar que A ⊂ B y B ⊂ A 
(p. ej.: si A = {1,2} entonces P(A) = {φ, {1} , {2}, {1,2}}) 
El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene todos los subconjuntos posibles del mismo. 
A ∈ P(A) 
como P(A)=P(B) entonces A ∈ P(B) 
Si A es P(B) entonces claramente A es un subconjunto de B. 
A ⊂ B …(1) 
Repitiendo el proceso anterior para B ∈ P(B) obtenemos 
B ⊂ A …(2) 
De las ecuaciones anteriores, 
A = B

Pregunta 7: ¿Es cierto que para cualquier conjunto A y B, P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B)? Justifica tu respuesta

Solución:

Es Falso 
Sean A = {1,2} y B = {2,3} 
A ∪ B = {1,2,3} 
P(A) = {φ, {1}, {2}, {1,2 }} 
P(B) = {φ, {2}, {3}, {2,3}} 
P(A) ∪ P(B) = {φ, {1}, {2}, {3}, { 1,2}, {2,3}} …(1) 
P(A ∪ B) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, { 1,3}, {1,2,3}} …(2) 
P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B) //de (1) y (2)

Pregunta 8: Muestre que para cualquier conjunto A y B, A = (A ∩ B) ∪ (A – B) y A ∪ (B – A) = (A ∪ B)

Solución:

(A ∩ B) ∪ (A – B) 
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) //(A – B) = (A ∩ B’) 
A ∩ (B ∪ B’) 
A ∩ U // B ∪ B’ = U donde U representa el conjunto universal 
A //por propiedad de identidad 
Por lo tanto, se prueba que A = (A ∩ B) ∪ (A – B) 

A ∪ (B – A) 
A ∪ (B ∩ A’) 
//B – A = B ∩ A’ 
(A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) 
//ley distributiva 
(A ∪ B) ∩ U 
// A ∪ A’ = U donde U representa el conjunto universal 
(A ∪ B) 
Por lo tanto, se demuestra que A ∪ (B – A) = (A ∪ B)

Pregunta 9: Usando las propiedades de los conjuntos, demuestra que

(i) A ∪ (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A ∪ B) = A

Solución:

(i) A ∪ (A ∩ B) 
(A ∪ A) ∩ (A ∪ B) //ley distributiva 
A ∩ (A ∪ B) //A ∪ A = A 
A //por ley de absorción 

(ii) A ∩ (A ∪ B) 
(A ∩ A) ∪ (A ∩ B) //ley distributiva 
A ∪ (A ∩ B) //A ∩ A = A 
A //por ley de absorción

Pregunta 10: Demostrar que A ∩ B = A ∩ C no implica necesariamente que B = C

Solución:

Supongamos que B ≠ C 
Tome A = {1,2}, B = {2,3} y C = {3,4} // aquí B ≠ C 
A ∩ B = {2} 
A ∩ C = φ 
Aquí podemos ver que A ∩ B ≠ A ∩ C 
Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta 
Por lo tanto, B = C es imprescindible para A ∩ B = A ∩ C

Conjuntos del Capítulo 1 – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 1 | conjunto 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ketaki888 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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