Pregunta 1: Decide, entre los siguientes conjuntos, qué conjuntos son subconjuntos de uno y otro:
A = {x : x ∈ R y x satisfacen x 2 – 8x + 12 = 0}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8, . . . }, re = {6}
Solución:
Al principio, simplificando para el conjunto A
x 2 – 8x + 12 = 0
(x-6)(x-2) = 0
x= 6 o 2
Ahora, A = {2,6}
Se dice que un conjunto X es un subconjunto de un conjunto Y si todo elemento de X es también un elemento de Y.
Por lo tanto, podemos escribir: A ⊂ B, A ⊂ C, B ⊂ C, D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C
Pregunta 2: En cada uno de los siguientes, determine si la afirmación es verdadera o falsa.
Si es verdad, demuéstralo. Si es falso, da un ejemplo.
(i) Si x ∈ A y A ∈ B, entonces x ∈ B
(ii) Si A ⊂ B y B ∈ C, entonces A ∈ C
(iii) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C
(iv) Si A ⊄ B y B ⊄ C, entonces A ⊄ C
(v) Si x ∈ A y A ⊄ B, entonces x ∈ B
(vi) Si A ⊂ B y x ∉ B, entonces x ∉ A
Solución:
(i)
Ejemplo falso: Sea x=1, A={1,2,3} y B = {{1,2,3},{4,5,6}}
Aquí x ∈ A y A ∈ B pero x ∉ B
(ii) Falso
Ejemplo: Sea A = {1}, B = {1,3} y C = {{1,3},{5,7}}
Aquí A ⊂ B y B ∈ C pero A ∉ C
(iii)
Prueba verdadera: A ⊂ B: el conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A
B ⊂ C: el conjunto C contiene todos los elementos del conjunto B
Por lo tanto, por la propiedad de transitividad, el conjunto C contiene todos los elementos del conjunto A, es decir, A ⊂ C
(iv) Falso
Ejemplo: Sea A = {1,2}, B = {3,4,5} y C = {1,2,6,7}
Aquí A ⊄ B y B ⊄ C pero A ⊂ C
( v) Falso
Ejemplo: Sea x=1, A = {1,2} y B = {3,4,5}
Aquí x ∈ A y A ⊄ B pero x ∉ B
(vi) Verdadero
Prueba : A ⊂ B : El conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A
Entonces si x ∉ B entonces también x ∉ A
Pregunta 3: Sean A, B y C los conjuntos tales que A ∪ B = A ∪ C y A ∩ B = A ∩ C. Demuestre que B = C.
Solución:
Dado: A ∪ B = A ∪ C …(1) A ∪
B = A ∩ C …(2)
A ∪ B = A + B – (A ∩ B) // por principio de inclusión-exclusión
A ∪ C = A + C – (A ∩ C) // por principio de inclusión-exclusión
A + B – (A ∩ B) = A + C – (A ∩ C) // de (1)
A + B – (A ∩ B) = A + C – (A ∩ B) // de (2)
B = C
Pregunta 4: Demuestre que las siguientes cuatro condiciones son equivalentes:
(i) UN ⊂ B (ii) UN – B = φ (iii) UN ∪ B = B (iv) UN ∩ B = UN
Solución:
//Mostrar (i)=(ii)
A ⊂ B significa que el Conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A, es decir, el conjunto A no tiene ningún elemento diferente de B
Significa A – B = φ
//Mostrar (i)=(iii )
Todos los elementos del conjunto A están en el Conjunto B, por lo que A ∪ B = B
//Mostrando (i)=(iv)
Todos los elementos del conjunto A están en el Conjunto B, por lo que A ∩ B = A
De la explicación anterior podemos decir que todas las condiciones anteriores son equivalentes .
Pregunta 5: Demuestre que si A ⊂ B, entonces C – B ⊂ C – A
Solución:
//Tomando un ejemplo
Sea A = {1,2} y B = {1,2,3,4,5}
y C = {2,5,6,7,8}
El conjunto B contiene todos los elementos del conjunto A entonces A ⊂ B
Ahora CB = {6,7,8} //elementos presentes en C pero no en B
CA = {5,6,7,8} //elementos presentes en C pero no en A
Se ve claramente que el conjunto CA contiene todos los elementos del conjunto CB, por lo tanto , C – B ⊂ C – A está probado.
Pregunta 6: Suponga que P (A) = P (B). Demostrar que A = B
Solución:
P(X) representa el conjunto potencia del conjunto X
Para probar A = B tenemos que probar que A ⊂ B y B ⊂ A
(p. ej.: si A = {1,2} entonces P(A) = {φ, {1} , {2}, {1,2}})
El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene todos los subconjuntos posibles del mismo.
A ∈ P(A)
como P(A)=P(B) entonces A ∈ P(B)
Si A es P(B) entonces claramente A es un subconjunto de B.
A ⊂ B …(1)
Repitiendo el proceso anterior para B ∈ P(B) obtenemos
B ⊂ A …(2)
De las ecuaciones anteriores,
A = B
Pregunta 7: ¿Es cierto que para cualquier conjunto A y B, P (A) ∪ P (B) = P (A ∪ B)? Justifica tu respuesta
Solución:
Es Falso
Sean A = {1,2} y B = {2,3}
A ∪ B = {1,2,3}
P(A) = {φ, {1}, {2}, {1,2 }}
P(B) = {φ, {2}, {3}, {2,3}}
P(A) ∪ P(B) = {φ, {1}, {2}, {3}, { 1,2}, {2,3}} …(1)
P(A ∪ B) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, { 1,3}, {1,2,3}} …(2)
P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B) //de (1) y (2)
Pregunta 8: Muestre que para cualquier conjunto A y B, A = (A ∩ B) ∪ (A – B) y A ∪ (B – A) = (A ∪ B)
Solución:
(A ∩ B) ∪ (A – B)
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) //(A – B) = (A ∩ B’)
A ∩ (B ∪ B’)
A ∩ U // B ∪ B’ = U donde U representa el conjunto universal
A //por propiedad de identidad
Por lo tanto, se prueba que A = (A ∩ B) ∪ (A – B)A ∪ (B – A)
A ∪ (B ∩ A’)
//B – A = B ∩ A’
(A ∪ B) ∩ (A ∪ A’)
//ley distributiva
(A ∪ B) ∩ U
// A ∪ A’ = U donde U representa el conjunto universal
(A ∪ B)
Por lo tanto, se demuestra que A ∪ (B – A) = (A ∪ B)
Pregunta 9: Usando las propiedades de los conjuntos, demuestra que
(i) A ∪ (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A ∪ B) = A
Solución:
(i) A ∪ (A ∩ B)
(A ∪ A) ∩ (A ∪ B) //ley distributiva
A ∩ (A ∪ B) //A ∪ A = A
A //por ley de absorción(ii) A ∩ (A ∪ B)
(A ∩ A) ∪ (A ∩ B) //ley distributiva
A ∪ (A ∩ B) //A ∩ A = A
A //por ley de absorción
Pregunta 10: Demostrar que A ∩ B = A ∩ C no implica necesariamente que B = C
Solución:
Supongamos que B ≠ C
Tome A = {1,2}, B = {2,3} y C = {3,4} // aquí B ≠ C
A ∩ B = {2}
A ∩ C = φ
Aquí podemos ver que A ∩ B ≠ A ∩ C
Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta
Por lo tanto, B = C es imprescindible para A ∩ B = A ∩ C