Problema 1: Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:
(i) (2, 3, 5) y (4, 3, 1)
Solución:
Sean P (2, 3, 5) y Q (4, 3, 1)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 2, y1 = 3, z1 = 5
x2 = 4, y2 = 3, z2 = 1
Longitud de la distancia PQ = √[(4 – 2) 2 + (3 – 3) 2 + (1 – 5) 2 ]
= √[(2) 2 + (0) 2 + (-4) 2 ]
= √[4 + 0 + 16]
= √20
= 2√5
∴ La longitud de la distancia PQ es 2√5 unidades.
(ii) (–3, 7, 2) y (2, 4, –1)
Solución:
Sean P (– 3, 7, 2) y Q (2, 4, – 1)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = – 3, y1 = 7, z1 = 2
x2 = 2, y2 = 4, z2 = – 1
Longitud de la distancia PQ = √[(2 – (-3)) 2 + (4 – 7) 2 + (-1 – 2) 2 ]
= √[(5) 2 + (-3) 2 + (-3) 2 ]
= √[25 + 9 + 9]
= √43
∴ La longitud de la distancia PQ es √43 unidades.
(iii) (–1, 3, – 4) y (1, –3, 4)
Solución:
Sean P (– 1, 3, – 4) y Q (1, – 3, 4)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = – 1, y1 = 3, z1 = – 4
x2 = 1, y2 = – 3, z2 = 4
Longitud de la distancia PQ = √[(1 – (-1)) 2 + (-3 – 3) 2 + (4 – (-4)) 2 ]
= √[(2) 2 + (-6) 2 + (8) 2 ]
= √[4 + 36 + 64]
= √104
= 2√26
∴ La longitud de la distancia PQ es 2√26 unidades.
(iv) (2, –1, 3) y (–2, 1, 3)
Solución:
Sean P (2, – 1, 3) y Q (– 2, 1, 3)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 2, y1 = – 1, z1 = 3
x2 = – 2, y2 = 1, z2 = 3
Longitud de la distancia PQ = √[(-2 – 2) 2 + (1 – (-1)) 2 + (3 – 3) 2 ]
= √[(-4) 2 + (2) 2 + (0) 2 ]
= √[16 + 4 + 0]
= √20
= 2√5
∴ La distancia requerida es de 2√5 unidades.
Problema 2: Demuestra que los puntos (–2, 3, 5), (1, 2, 3) y (7, 0, –1) son colineales.
Solución:
Si tres puntos son colineales, entonces se encuentran en una línea.
Primero calculemos la distancia entre los 3 puntos
es decir, PQ, QR y PR
P ≡ (– 2, 3, 5) y Q ≡ (1, 2, 3)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = – 2, y1 = 3, z1 = 5
x2 = 1, y2 = 2, z2 = 3
Longitud de la distancia PQ = √[(1 – (-2)) 2 + (2 – 3) 2 + (3 – 5) 2 ]
= √[(3)2 + (-1)2 + (-2)2]
= √[9 + 1 + 4]
= √14
La longitud de la distancia PQ es √14
Q ≡ (1, 2, 3) y R ≡ (7, 0, – 1)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 1, y1 = 2, z1 = 3
x2 = 7, y2 = 0, z2 = – 1
Longitud de la distancia QR = √[(7 – 1) 2 + (0 – 2) 2 + (-1 – 3) 2 ]
= √[(6) 2 + (-2) 2 + (-4) 2 ]
= √[36 + 4 + 16]
= √56
= 2√14
La longitud de la distancia QR es 2√14
P ≡ (– 2, 3, 5) y R ≡ (7, 0, – 1)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PR= √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = – 2, y1 = 3, z1 = 5
x2 = 7, y2 = 0, z2 = – 1
Longitud de la distancia PR = √[(7 – (-2)) 2 + (0 – 3) 2 + (-1 – 5) 2 ]
= √[(9) 2 + (-3) 2 + (-6) 2 ]
= √[81 + 9 + 36]
= √126
= 3√14
Longitud de la distancia PR es 3√14
Así, PQ = √14, QR = 2√14 y PR = 3√14
Entonces, PQ + QR = √14 + 2√14
= 3√14
= PR
∴ Los puntos P, Q y R son colineales.
Problema 3: Verifique lo siguiente:
(i) (0, 7, –10), (1, 6, – 6) y (4, 9, – 6) son los vértices de un triángulo isósceles.
Solución:
(0, 7, –10), (1, 6, – 6) y (4, 9, – 6) son los vértices de un triángulo isósceles.
Consideremos los puntos como
P(0, 7, –10), Q(1, 6, – 6) y R(4, 9, – 6)
Si los 2 lados son iguales, entonces será un triángulo isósceles.
Entonces, primero calculemos la distancia de PQ, QR
P ≡ (0, 7, – 10) y Q ≡ (1, 6, – 6)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 0, y1 = 7, z1 = – 10
x2 = 1, y2 = 6, z2 = – 6
Longitud de la distancia PQ = √[(1 – 0) 2 + (6 – 7) 2 + (-6 – (-10)) 2 ]
= √[(1) 2 + (-1) 2 + (4) 2 ]
= √[1 + 1 + 16]
= √18
Cálculo QR
Q ≡ (1, 6, – 6) y R ≡ (4, 9, – 6)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 1, y1 = 6, z1 = – 6
x2 = 4, y2 = 9, z2 = – 6
Longitud de la distancia QR = √[(4 – 1) 2 + (9 – 6) 2 + (-6 – (-6)) 2 ]
= √[(3) 2 + (3) 2 + (-6+6) 2 ]
= √[9 + 9 + 0]
= √18
Por eso,
Longitud de la distancia PQ = Longitud de la distancia QR es decir
√18 = √18
∴ Longitud de 2 lados son iguales
∴ PQR es un triángulo isósceles.
(ii) (0, 7, 10), (–1, 6, 6) y (– 4, 9, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo.
Solución:
(0, 7, 10), (–1, 6, 6) y (– 4, 9, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo.
Sean los puntos
P(0, 7, 10), Q(– 1, 6, 6) y R(– 4, 9, 6)
En primer lugar, calculemos la distancia de PQ, OR y PR
Cálculo de PQ
P ≡ (0, 7, 10) y Q ≡ (– 1, 6, 6)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 0, y1 = 7, z1 = 10
x2 = – 1, y2 = 6, z2 = 6
Longitud de la distancia PQ = √[(-1 – 0) 2 + (6 – 7) 2 + (6 – 10) 2 ]
= √[(-1) 2 + (-1) 2 + (-4) 2 ]
= √[1 + 1 + 16]
= √18
La longitud de la distancia PQ es √18cm
Q ≡ (1, 6, – 6) y R ≡ (4, 9, – 6)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 1, y1 = 6, z1 = – 6
x2 = 4, y2 = 9, z2 = – 6
Longitud de la distancia QR = √[(4 – 1) 2 + (9 – 6) 2 + (-6 – (-6)) 2 ]
= √[(3) 2 + (3) 2 + (-6+6) 2 ]
= √[9 + 9 + 0]
= √18
La longitud de la distancia QR es √18cm
P ≡ (0, 7, 10) y R ≡ (– 4, 9, 6)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 0, y1 = 7, z1 = 10
x2 = – 4, y2 = 9, z2 = 6
Longitud de la distancia PR = √[(-4 – 0) 2 + (9 – 7) 2 + (6 – 10) 2 ]
= √[(-4) 2 + (2) 2 + (-4) 2 ]
= √[16 + 4 + 16]
= √36
La longitud de la distancia PR es √36cm
Ahora,
PQ 2 + QR 2 = 18 + 18
= 36
= RP 2
Usando el inverso del teorema de Pitágoras,
∴ Los vértices P, Q y R dados son los vértices de un triángulo rectángulo en Q
(iii) (–1, 2, 1), (1, –2, 5), (4, –7, 8) y (2, –3, 4) son los vértices de un paralelogramo.
Solución :
(–1, 2, 1), (1, –2, 5), (4, –7, 8) y (2, –3, 4) son los vértices de un paralelogramo.
Sean los puntos: A(–1, 2, 1), B(1, –2, 5), C(4, –7, 8) & D(2, –3, 4)
ABCD pueden ser vértices de un paralelogramo solo si los lados opuestos son iguales.
es decir, AB = CD y BC = AD
Primero calculamos la distancia
A ≡ (– 1, 2, 1) y B ≡ (1, – 2, 5)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia AB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = – 1, y1 = 2, z1 = 1
x2 = 1, y2 = – 2, z2 = 5
Longitud de la distancia AB = √[(1 – (-1))2 + (-2 – 2) 2 + (5 – 1) 2 ]
= √[(2) 2 + (-4) 2 + (4) 2 ]
= √[4 + 16 + 16]
= √36
= 6
La longitud de la distancia AB es de 6 cm.
B ≡ (1, – 2, 5) y C ≡ (4, – 7, 8)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia BC = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 1, y1 = – 2, z1 = 5
x2 = 4, y2 = – 7, z2 = 8
Longitud de la distancia BC = √[(4 – 1) 2 + (-7 – (-2)) 2 + (8 – 5) 2 ]
= √[(3) 2
+ (-5) 2 + (3) 2 ]
= √[9 + 25 + 9]
= √43
La longitud de la distancia BC es √43cm
C ≡ (4, – 7, 8) y D ≡ (2, – 3, 4)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia CD = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 4, y1 = – 7, z1 = 8
x2 = 2, y2 = – 3, z2 = 4
Longitud de la distancia CD = √[(2 – 4) 2 + (-3 – (-7)) 2 + (4 – 8) 2 ]
= √[(-2) 2 + (4) 2 + (-4) 2 ]
= √[4 + 16 + 16]
= √36
= 6
La longitud de la distancia del CD es de 6 cm.
D ≡ (2, – 3, 4) y A ≡ (– 1, 2, 1)
Usando la fórmula,
Longitud de la distancia DA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = 2, y1 = – 3, z1 = 4
x2 = – 1, y2 = 2, z2 = 1
Longitud de la distancia DA = √[(-1 – 2) 2 + (2 – (-3)) 2 + (1 – 4) 2 ]
= √[(-3) 2 + (5) 2 + (-3) 2 ]
= √[9 + 25 + 9]
= √43
La longitud de la distancia DA es √43cm
Como AB = CD y BC = DA (dado)
Entonces, en ABCD ambos pares de lados opuestos son iguales
∴ ABCD es un paralelogramo
Problema 4: Encuentra la ecuación del conjunto de puntos que son equidistantes de los puntos (1, 2, 3) y (3, 2, –1).
Solución:
Sean A (1, 2, 3) & B (3, 2, – 1)
Sea el punto P (x, y, z)
Dado que se da que el punto P(x, y, z) está a la misma distancia del punto A(1, 2, 3) y B(3, 2, – 1), es decir, PA = PB
P ≡ (x, y, z) y A ≡ (1, 2, 3)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Ahora, usando la fórmula de la distancia, PA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = x, y1 = y, z1 = z
x2 = 1, y2 = 2, z2 = 3
Longitud de la distancia PA = √[(1 – x) 2 + (2 – y) 2 + (3 – z) 2 ]
P ≡ (x, y, z) y B ≡ (3, 2, – 1)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = x, y1 = y, z1 = z
x2 = 3, y2 = 2, z2 = – 1
Longitud de la distancia PB = √[(3 – x) 2 + (2 – y) 2 + (-1 – z) 2 ]
Dado que PA = PB
Cuadrados en ambos lados, obtenemos
PA 2 = PB 2
(1 – x) 2 + (2 – y) 2 + (3 – z) 2 = (3 – x) 2 + (2 – y) 2 + (– 1 – z) 2
(1 + x 2 – 2x) + (4 + y 2 – 4y) + (9 + z 2 – 6z)
(9 + x 2 – 6x) + (4 + y 2 – 4y) + (1 + z 2 + 2z)
– 2x – 4y – 6z + 14 = – 6x – 4y + 2z + 14
4x – 8z = 0
x-2z = 0
∴ La ecuación requerida es x – 2z = 0
Problema 5: Hallar la ecuación del conjunto de puntos P, cuya suma de distancias a A (4, 0, 0) y B (– 4, 0, 0) es igual a 10.
Solución:
Sean A (4, 0, 0) & B (– 4, 0, 0)
Sean las coordenadas del punto P (x, y, z)
Cálculo de PA
P ≡ (x, y, z) y A ≡ (4, 0, 0)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = x, y1 = y, z1 = z
x2 = 4, y2 = 0, z2 = 0
Longitud de la distancia PA = √[(4– x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ]
Cálculo de PB
P ≡ (x, y, z) y B ≡ (– 4, 0, 0)
Ahora, usando la fórmula de la distancia,
Longitud de la distancia PB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]
Así que aquí,
x1 = x, y1 = y, z1 = z
x2 = – 4, y2 = 0, z2 = 0
Longitud de la distancia PB = √[(-4– x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ]
Ahora se da que:
PA + PB = 10
PA = 10 – PB
Cuadrados en ambos lados, obtenemos
PA 2 = (10 – PB) 2
PA 2 = 100 + PB 2 – 20 PB
(4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2
100 + (– 4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 – 20 PB
(16 + x2 – 8x) + (y2 ) + (z2 )
100 + (16 + x 2 + 8x) + (y 2 ) + (z 2 ) – 20 PB
20 PB = 16x + 100
5 PB = (4x + 25)
Cuadrado en ambos lados de nuevo, obtenemos
25 PB 2 = 16x 2 + 200x + 625
25 [(– 4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ] = 16x 2 + 200x + 625
25 [x 2 + y 2 + z 2 + 8x + 16] = 16x 2 + 200x + 625
25x 2 + 25y 2 + 25z 2 + 200x + 400 = 16x 2 + 200x + 625
9x 2 + 25y 2 + 25z 2 – 225 = 0
∴ La ecuación requerida es 9x 2 + 25y 2 + 25z 2 – 225 = 0
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA