Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 12 Introducción a la geometría tridimensional – Ejercicio 12.2

Problema 1: Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:

(i) (2, 3, 5) y (4, 3, 1)

Solución:

Sean P (2, 3, 5) y Q (4, 3, 1)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 2, y1 = 3, z1 = 5

x2 = 4, y2 = 3, z2 = 1

Longitud de la distancia PQ = √[(4 – 2) 2 + (3 – 3) 2 + (1 – 5) 2 ]

= √[(2) 2 + (0) 2 + (-4) 2 ]

= √[4 + 0 + 16]

= √20

= 2√5

∴ La longitud de la distancia PQ es 2√5 unidades.

(ii) (–3, 7, 2) y (2, 4, –1)

Solución:

Sean P (– 3, 7, 2) y Q (2, 4, – 1)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = – 3, y1 = 7, z1 = 2

x2 = 2, y2 = 4, z2 = – 1

Longitud de la distancia PQ = √[(2 – (-3)) 2 + (4 – 7) 2 + (-1 – 2) 2 ]

= √[(5) 2 + (-3) 2 + (-3) 2 ]

= √[25 + 9 + 9]

= √43

∴ La longitud de la distancia PQ es √43 unidades.

(iii) (–1, 3, – 4) y (1, –3, 4)

Solución:

Sean P (– 1, 3, – 4) y Q (1, – 3, 4)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = – 1, y1 = 3, z1 = – 4

x2 = 1, y2 = – 3, z2 = 4

Longitud de la distancia PQ = √[(1 – (-1)) 2 + (-3 – 3) 2 + (4 – (-4)) 2 ]

= √[(2) 2 + (-6) 2 + (8) 2 ]

= √[4 + 36 + 64]

= √104

= 2√26

∴ La longitud de la distancia PQ es 2√26 unidades.

(iv) (2, –1, 3) y (–2, 1, 3)

Solución:

Sean P (2, – 1, 3) y Q (– 2, 1, 3)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 2, y1 = – 1, z1 = 3

x2 = – 2, y2 = 1, z2 = 3

Longitud de la distancia PQ = √[(-2 – 2) 2 + (1 – (-1)) 2 + (3 – 3) 2 ]

= √[(-4) 2 + (2) 2 + (0) 2 ]

= √[16 + 4 + 0]

= √20

= 2√5

∴ La distancia requerida es de 2√5 unidades.

Problema 2: Demuestra que los puntos (–2, 3, 5), (1, 2, 3) y (7, 0, –1) son colineales.

Solución:

Si tres puntos son colineales, entonces se encuentran en una línea.

Primero calculemos la distancia entre los 3 puntos

es decir, PQ, QR y PR

P ≡ (– 2, 3, 5) y Q ≡ (1, 2, 3)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = – 2, y1 = 3, z1 = 5

x2 = 1, y2 = 2, z2 = 3

Longitud de la distancia PQ = √[(1 – (-2)) 2 + (2 – 3) 2 + (3 – 5) 2 ]

= √[(3)2 + (-1)2 + (-2)2]

= √[9 + 1 + 4]

= √14

La longitud de la distancia PQ es √14

Q ≡ (1, 2, 3) y R ≡ (7, 0, – 1)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 1, y1 = 2, z1 = 3

x2 = 7, y2 = 0, z2 = – 1

Longitud de la distancia QR = √[(7 – 1) 2 + (0 – 2) 2 + (-1 – 3) 2 ]

= √[(6) 2 + (-2) 2 + (-4) 2 ]

= √[36 + 4 + 16]

= √56

= 2√14

La longitud de la distancia QR es 2√14

P ≡ (– 2, 3, 5) y R ≡ (7, 0, – 1)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PR= √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = – 2, y1 = 3, z1 = 5

x2 = 7, y2 = 0, z2 = – 1

Longitud de la distancia PR = √[(7 – (-2)) 2 + (0 – 3) 2 + (-1 – 5) 2 ]

= √[(9) 2 + (-3) 2 + (-6) 2 ]

= √[81 + 9 + 36]

= √126

= 3√14

Longitud de la distancia PR es 3√14

Así, PQ = √14, QR = 2√14 y PR = 3√14

Entonces, PQ + QR = √14 + 2√14

= 3√14

= PR

∴ Los puntos P, Q y R son colineales.

Problema 3: Verifique lo siguiente:

(i) (0, 7, –10), (1, 6, – 6) y (4, 9, – 6) son los vértices de un triángulo isósceles.

Solución:

(0, 7, –10), (1, 6, – 6) y (4, 9, – 6) son los vértices de un triángulo isósceles.

Consideremos los puntos como

P(0, 7, –10), Q(1, 6, – 6) y R(4, 9, – 6)

Si los 2 lados son iguales, entonces será un triángulo isósceles.

Entonces, primero calculemos la distancia de PQ, QR

P ≡ (0, 7, – 10) y Q ≡ (1, 6, – 6)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 0, y1 = 7, z1 = – 10

x2 = 1, y2 = 6, z2 = – 6

Longitud de la distancia PQ = √[(1 – 0) 2 + (6 – 7) 2 + (-6 – (-10)) 2 ]

= √[(1) 2 + (-1) 2 + (4) 2 ]

= √[1 + 1 + 16]

= √18

Cálculo QR

Q ≡ (1, 6, – 6) y R ≡ (4, 9, – 6)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 1, y1 = 6, z1 = – 6

x2 = 4, y2 = 9, z2 = – 6

Longitud de la distancia QR = √[(4 – 1) 2 + (9 – 6) 2 + (-6 – (-6)) 2 ]

= √[(3) 2 + (3) 2 + (-6+6) 2 ]

= √[9 + 9 + 0]

= √18

Por eso, 

Longitud de la distancia PQ = Longitud de la distancia QR es decir 

√18 = √18

∴ Longitud de 2 lados son iguales

∴ PQR es un triángulo isósceles.

(ii) (0, 7, 10), (–1, 6, 6) y (– 4, 9, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Solución:

 (0, 7, 10), (–1, 6, 6) y (– 4, 9, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Sean los puntos

P(0, 7, 10), Q(– 1, 6, 6) y R(– 4, 9, 6)

En primer lugar, calculemos la distancia de PQ, OR y PR

Cálculo de PQ

P ≡ (0, 7, 10) y Q ≡ (– 1, 6, 6)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PQ = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 0, y1 = 7, z1 = 10

x2 = – 1, y2 = 6, z2 = 6

Longitud de la distancia PQ = √[(-1 – 0) 2 + (6 – 7) 2 + (6 – 10) 2 ]

= √[(-1) 2 + (-1) 2 + (-4) 2 ]

= √[1 + 1 + 16]

= √18

La longitud de la distancia PQ es √18cm

Q ≡ (1, 6, – 6) y R ≡ (4, 9, – 6)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia QR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 1, y1 = 6, z1 = – 6

x2 = 4, y2 = 9, z2 = – 6

Longitud de la distancia QR = √[(4 – 1) 2 + (9 – 6) 2 + (-6 – (-6)) 2 ]

= √[(3) 2 + (3) 2 + (-6+6) 2 ]

= √[9 + 9 + 0]

= √18

La longitud de la distancia QR es √18cm

P ≡ (0, 7, 10) y R ≡ (– 4, 9, 6)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PR = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 0, y1 = 7, z1 = 10

x2 = – 4, y2 = 9, z2 = 6

Longitud de la distancia PR = √[(-4 – 0) 2 + (9 – 7) 2 + (6 – 10) 2 ]

= √[(-4) 2 + (2) 2 + (-4) 2 ]

= √[16 + 4 + 16]

= √36

La longitud de la distancia PR es √36cm

Ahora,

PQ 2 + QR 2 = 18 + 18

= 36

= RP 2

Usando el inverso del teorema de Pitágoras,

∴ Los vértices P, Q y R dados son los vértices de un triángulo rectángulo en Q

(iii) (–1, 2, 1), (1, –2, 5), (4, –7, 8) y (2, –3, 4) son los vértices de un paralelogramo.

Solución :

(–1, 2, 1), (1, –2, 5), (4, –7, 8) y (2, –3, 4) son los vértices de un paralelogramo.

Sean los puntos: A(–1, 2, 1), B(1, –2, 5), C(4, –7, 8) & D(2, –3, 4)

ABCD pueden ser vértices de un paralelogramo solo si los lados opuestos son iguales.

es decir, AB = CD y BC = AD

Primero calculamos la distancia

A ≡ (– 1, 2, 1) y B ≡ (1, – 2, 5)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia AB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = – 1, y1 = 2, z1 = 1

x2 = 1, y2 = – 2, z2 = 5

Longitud de la distancia AB = √[(1 – (-1))2 + (-2 – 2) 2 + (5 – 1) 2 ]

= √[(2) 2 + (-4) 2 + (4) 2 ]

= √[4 + 16 + 16]

= √36

= 6

La longitud de la distancia AB es de 6 cm.

B ≡ (1, – 2, 5) y C ≡ (4, – 7, 8)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia BC = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 1, y1 = – 2, z1 = 5

x2 = 4, y2 = – 7, z2 = 8

Longitud de la distancia BC = √[(4 – 1) 2 + (-7 – (-2)) 2 + (8 – 5) 2 ]

= √[(3) 2

 + (-5) 2 + (3) 2 ]

= √[9 + 25 + 9]

= √43

La longitud de la distancia BC es √43cm

C ≡ (4, – 7, 8) y D ≡ (2, – 3, 4)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia CD = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 4, y1 = – 7, z1 = 8

x2 = 2, y2 = – 3, z2 = 4

Longitud de la distancia CD = √[(2 – 4) 2 + (-3 – (-7)) 2 + (4 – 8) 2 ]

= √[(-2) 2 + (4) 2 + (-4) 2 ]

= √[4 + 16 + 16]

= √36

= 6

La longitud de la distancia del CD es de 6 cm.

D ≡ (2, – 3, 4) y A ≡ (– 1, 2, 1)

Usando la fórmula,

Longitud de la distancia DA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = 2, y1 = – 3, z1 = 4

x2 = – 1, y2 = 2, z2 = 1

Longitud de la distancia DA = √[(-1 – 2) 2 + (2 – (-3)) 2 + (1 – 4) 2 ]

= √[(-3) 2 + (5) 2 + (-3) 2 ]

= √[9 + 25 + 9]

= √43

La longitud de la distancia DA es √43cm

Como AB = CD y BC = DA (dado)

Entonces, en ABCD ambos pares de lados opuestos son iguales

∴ ABCD es un paralelogramo

Problema 4: Encuentra la ecuación del conjunto de puntos que son equidistantes de los puntos (1, 2, 3) y (3, 2, –1).

Solución:

Sean A (1, 2, 3) & B (3, 2, – 1)

Sea el punto P (x, y, z)

Dado que se da que el punto P(x, y, z) está a la misma distancia del punto A(1, 2, 3) y B(3, 2, – 1), es decir, PA = PB

P ≡ (x, y, z) y A ≡ (1, 2, 3)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Ahora, usando la fórmula de la distancia, PA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = x, y1 = y, z1 = z

x2 = 1, y2 = 2, z2 = 3

Longitud de la distancia PA = √[(1 – x) 2 + (2 – y) 2 + (3 – z) 2 ]

P ≡ (x, y, z) y B ≡ (3, 2, – 1)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = x, y1 = y, z1 = z

x2 = 3, y2 = 2, z2 = – 1

Longitud de la distancia PB = √[(3 – x) 2 + (2 – y) 2 + (-1 – z) 2 ]

Dado que PA = PB

Cuadrados en ambos lados, obtenemos

PA 2 = PB 2

(1 – x) 2 + (2 – y) 2 + (3 – z) 2 = (3 – x) 2 + (2 – y) 2 + (– 1 – z) 2

(1 + x 2 – 2x) + (4 + y 2 – 4y) + (9 + z 2 – 6z)

(9 + x 2 – 6x) + (4 + y 2 – 4y) + (1 + z 2 + 2z)

– 2x – 4y – 6z + 14 = – 6x – 4y + 2z + 14

4x – 8z = 0

x-2z = 0

∴ La ecuación requerida es x – 2z = 0

Problema 5: Hallar la ecuación del conjunto de puntos P, cuya suma de distancias a A (4, 0, 0) y B (– 4, 0, 0) es igual a 10.

Solución:

Sean A (4, 0, 0) & B (– 4, 0, 0)

Sean las coordenadas del punto P (x, y, z)

Cálculo de PA

P ≡ (x, y, z) y A ≡ (4, 0, 0)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PA = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = x, y1 = y, z1 = z

x2 = 4, y2 = 0, z2 = 0

Longitud de la distancia PA = √[(4– x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ]

Cálculo de PB

P ≡ (x, y, z) y B ≡ (– 4, 0, 0)

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Longitud de la distancia PB = √[(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 + (z2 – z1) 2 ]

Así que aquí,

x1 = x, y1 = y, z1 = z

x2 = – 4, y2 = 0, z2 = 0

Longitud de la distancia PB = √[(-4– x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ]

Ahora se da que:

PA + PB = 10

PA = 10 – PB

Cuadrados en ambos lados, obtenemos

PA 2 = (10 – PB) 2

PA 2 = 100 + PB 2 – 20 PB

(4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2

100 + (– 4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 – 20 PB

(16 + x2 – 8x) + (y2 ) + (z2 )

100 + (16 + x 2 + 8x) + (y 2 ) + (z 2 ) – 20 PB

20 PB = 16x + 100

5 PB = (4x + 25)

Cuadrado en ambos lados de nuevo, obtenemos

25 PB 2 = 16x 2 + 200x + 625

25 [(– 4 – x) 2 + (0 – y) 2 + (0 – z) 2 ] = 16x 2 + 200x + 625

25 [x 2 + y 2 + z 2 + 8x + 16] = 16x 2 + 200x + 625

25x 2 + 25y 2 + 25z 2 + 200x + 400 = 16x 2 + 200x + 625

9x 2 + 25y 2 + 25z 2 – 225 = 0

∴ La ecuación requerida es 9x 2 + 25y 2 + 25z 2 – 225 = 0

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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