Problema 1: Encuentra las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (– 2, 3, 5) y (1, – 4, 6) en la razón.
(i) 2: 3 internamente
Solución:
Al usar la fórmula de la sección,
Al comparar obtenemos,
x1 = -2, y1 = 3, z1 = 5
x2 = 1, y2 = -4, z2 = 6 y
metro = 2, norte = 3
Entonces, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos P (– 2, 3, 5) y Q (1, – 4, 6) en la razón 2 : 3 internamente está dada por:
((2 * 1 + 3 * -2)/(2 + 3), (2 * -4 + 3 * 3)/(2 + 3), (2 * 6 + 3 * 5)/(2 + 3) )
((-4/5), (1/5), (27/5))
Por lo tanto, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (-2, 3, 5) y (1, -4, 6) es (-4/5, 1/5, 27/5)
(ii) 2: 3 externamente
Solución:
Al usar la fórmula de la sección,
Al comparar obtenemos,
x1 = -2, y1 = 3, z1 = 5;
x2 = 1, y2 = -4, z2 = 6 y
metro = 2, norte = 3
Entonces, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos P (– 2, 3, 5) y Q (1, – 4, 6) en la razón 2:3 externamente está dada por:
((2 * 1 – 3 * -2)/(2 + 3), (2 * -4 – 3 * 3)/(2 + 3), (2 * 6 – 3 * 5)/(2 + 3) )
((2 + 6)/(-1), (-8 – 9)/(-1), (12 – 15)/(-1)
(-8), (17), (3)
∴ Las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (-2, 3, 5) y (1, -4, 6) es (-8, 17, 3).
Problema 2: Dado que P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) y R (9, 8, –10) son colineales. Encuentra la razón en la que Q divide a PR.
Solución:
Consideremos Q divide a PR en la razón k: 1.
Al usar la fórmula de la sección,
Al comparar obtenemos,
x1 = 3, y1 = 2, z1 = -4;
x2 = 9, y2 = 8, z2 = -10 y
metro = k, norte = 1
Entonces tenemos
((k * 9 + 1 * 3)/(k + 1), (k * 8 + 1 * 2)/(k + 1), (-10 * k + 1 * -4)/(k + 1) = (5, 4, -6)
(9k + 3)/(k + 1) = 5, (8k + 2)/(k + 1) = 4, (-10k + -4)/(k + 1) = -6
(8k + 2)/(k + 1) = 4
8k + 2 = 4k + 4
4k = 2
k = 1/2
Por tanto, la razón en que Q divide a PR es 1:2
Problema 3: Encuentra la razón en la que el plano YZ divide el segmento de línea formado al unir los puntos (–2, 4, 7) y (3, –5, 8).
Solución:
Sea PQ el segmento de recta formado al unir los puntos P (-2, 4, 7) y Q (3, -5, 8).
Sabemos que cualquier punto en el plano YZ tiene la forma (0, y, z).
Ahora, sea R (0, y, z) que divide el segmento de línea PQ en la razón k: 1.
Después,
Al comparar obtenemos,
x1 = -2, y1 = 4, z1 = 7;
x2 = 3, y2 = -5, z2 = 8 y
metro = k, norte = 1
Usando la fórmula de la sección,
Entonces tenemos,
((3k – 2)/(k + 1), (-5k + 4)/(k + 1), (8k + 7)/(k + 1)) = (0, y, z)
3k – 2 = 0
3k = 2
k = 2/3
Por tanto, la razón en que el plano YZ divide el segmento de recta formado al unir los puntos (–2, 4, 7) y (3, –5, 8) es 2:3.
Problema 4: usando la fórmula de la sección, demuestre que los puntos A (2, –3, 4), B (–1, 2, 1) y C (0, 1/3, 2) son colineales.
Solución:
Sea el punto P que divide a AB en la razón k: 1.
Al comparar obtenemos,
x1 = 2, y1 = -3, z1 = 4;
x2 = -1, y2 = 2, z2 = 1 y
metro = k, norte = 1
Al usar la fórmula de la sección,
Entonces tenemos,
Las coordenadas de P son:
((-k + 2)/(k + 1), (2k – 3)/(k + 1), (k + 4)/(k + 1))
Ahora, comprobamos si para algún valor de k, el punto coincide con el punto C.
Ponga (-k + 2)/(k + 1) = 0
-k + 2 = 0
k = 2
Cuando k = 2, entonces (2k – 3)/(k + 1) = (2(2) – 3)/(2 + 1)
= (4 – 3)/3
= 1/3
Y, (k + 4)/(k +1) = (2 + 4)/(2 +1)
= 6/3
= 2
∴ C (0, 1/3, 2) es un punto que divide a AB en la razón 2:1 y es igual a P.
Por lo tanto, A, B, C son colineales.
Problema 5: Encuentra las coordenadas de los puntos que trisecan el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, – 6) y Q (10, –16, 6).
Solución:
Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) trisecando el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, -6) y Q (10, -16, 6).
A divide el segmento de recta PQ en la razón 1:2.
Al comparar obtenemos,
x1 = 4, y1 = 2, z1 = -6;
x2 = 10, y2 = -16, z2 = 6 y
metro = 1, norte = 2
Usando la fórmula de la sección,
Entonces tenemos,
Las coordenadas de A son:
((1*10 + 2*4)/(1 + 2), (1*(-16) + 2*2)/(1 + 2), (1*6 + 2*(-6))/( 1 + 2)
((18/3), (-12/3), (-6/3))
Las coordenadas de A son (6, -4, -2)
Del mismo modo, sabemos que B divide al segmento de recta PQ en la razón 2:1.
Al comparar obtenemos,
x1 = 4, y1 = 2, z1 = -6;
x2 = 10, y2 = -16, z2 = 6 y
metro = 2, norte = 1
Usando la fórmula de la sección,
Entonces tenemos,
Las coordenadas de B son:
((2 * 10 + 1 * 4)/(2 + 1), (2 * -16 + 1 * 2)/(2 + 1), (2 * 6 + 1 * -6)/(2 + 1)
Las coordenadas de B son (8, -10, 2)
∴ Las coordenadas de los puntos que trisecan el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, – 6) y Q (10, –16, 6) son (6, -4, -2) y (8, -10, 2).
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA