Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 12 Introducción a la geometría tridimensional – Ejercicio 12.3

Problema 1: Encuentra las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (– 2, 3, 5) y (1, – 4, 6) en la razón.

(i) 2: 3 internamente

Solución:

Al usar la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Al comparar obtenemos,

x1 = -2, y1 = 3, z1 = 5

x2 = 1, y2 = -4, z2 = 6 y

metro = 2, norte = 3

Entonces, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos P (– 2, 3, 5) y Q (1, – 4, 6) en la razón 2 : 3 internamente está dada por:

((2 * 1 + 3 * -2)/(2 + 3), (2 * -4 + 3 * 3)/(2 + 3), (2 * 6 + 3 * 5)/(2 + 3) )

((-4/5), (1/5), (27/5))

Por lo tanto, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (-2, 3, 5) y (1, -4, 6) es (-4/5, 1/5, 27/5)

(ii) 2: 3 externamente

Solución:

Al usar la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 - nx_1)}{(m - n)}, \frac{(my_2 - ny_1)}{(m - n)}, \frac{(mz_2 - nz_1)}{(m - n)})}

Al comparar obtenemos,

x1 = -2, y1 = 3, z1 = 5;

x2 = 1, y2 = -4, z2 = 6 y

metro = 2, norte = 3

Entonces, las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos P (– 2, 3, 5) y Q (1, – 4, 6) en la razón 2:3 externamente está dada por:

((2 * 1 – 3 * -2)/(2 + 3), (2 * -4 – 3 * 3)/(2 + 3), (2 * 6 – 3 * 5)/(2 + 3) )

((2 + 6)/(-1), (-8 – 9)/(-1), (12 – 15)/(-1)

(-8), (17), (3)

∴ Las coordenadas del punto que divide el segmento de recta que une los puntos (-2, 3, 5) y (1, -4, 6) es (-8, 17, 3).

Problema 2: Dado que P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) y R (9, 8, –10) son colineales. Encuentra la razón en la que Q divide a PR.

Solución:

Consideremos Q divide a PR en la razón k: 1.

Al usar la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Al comparar obtenemos,

x1 = 3, y1 = 2, z1 = -4;

x2 = 9, y2 = 8, z2 = -10 y

metro = k, norte = 1

Entonces tenemos

((k * 9 + 1 * 3)/(k + 1), (k * 8 + 1 * 2)/(k + 1), (-10 * k + 1 * -4)/(k + 1) = (5, 4, -6)

(9k + 3)/(k + 1) = 5, (8k + 2)/(k + 1) = 4, (-10k + -4)/(k + 1) = -6

 (8k + 2)/(k + 1) = 4

8k + 2 = 4k + 4

4k = 2

k = 1/2

Por tanto, la razón en que Q divide a PR es 1:2

Problema 3: Encuentra la razón en la que el plano YZ divide el segmento de línea formado al unir los puntos (–2, 4, 7) y (3, –5, 8).

Solución:

Sea PQ el segmento de recta formado al unir los puntos P (-2, 4, 7) y Q (3, -5, 8).

Sabemos que cualquier punto en el plano YZ tiene la forma (0, y, z).

Ahora, sea R (0, y, z) que divide el segmento de línea PQ en la razón k: 1.

Después,

Al comparar obtenemos,

x1 = -2, y1 = 4, z1 = 7;

x2 = 3, y2 = -5, z2 = 8 y

metro = k, norte = 1

Usando la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Entonces tenemos,

((3k – 2)/(k + 1), (-5k + 4)/(k + 1), (8k + 7)/(k + 1)) = (0, y, z)

3k – 2 = 0

3k = 2

k = 2/3

Por tanto, la razón en que el plano YZ divide el segmento de recta formado al unir los puntos (–2, 4, 7) y (3, –5, 8) es 2:3.

Problema 4: usando la fórmula de la sección, demuestre que los puntos A (2, –3, 4), B (–1, 2, 1) y C (0, 1/3, 2) son colineales.

Solución:

Sea el punto P que divide a AB en la razón k: 1.

Al comparar obtenemos,

x1 = 2, y1 = -3, z1 = 4;

x2 = -1, y2 = 2, z2 = 1 y

metro = k, norte = 1

Al usar la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Entonces tenemos,

Las coordenadas de P son:

((-k + 2)/(k + 1), (2k – 3)/(k + 1), (k + 4)/(k + 1))

Ahora, comprobamos si para algún valor de k, el punto coincide con el punto C.

Ponga (-k + 2)/(k + 1) = 0

-k + 2 = 0

k = 2

Cuando k = 2, entonces (2k – 3)/(k + 1) = (2(2) – 3)/(2 + 1)

= (4 – 3)/3

= 1/3

Y, (k + 4)/(k +1) = (2 + 4)/(2 +1)

= 6/3

= 2

∴ C (0, 1/3, 2) es un punto que divide a AB en la razón 2:1 y es igual a P.

Por lo tanto, A, B, C son colineales.

Problema 5: Encuentra las coordenadas de los puntos que trisecan el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, – 6) y Q (10, –16, 6).

Solución:

Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) trisecando el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, -6) y Q (10, -16, 6).

A divide el segmento de recta PQ en la razón 1:2.

Al comparar obtenemos,

x1 = 4, y1 = 2, z1 = -6;

x2 = 10, y2 = -16, z2 = 6 y

metro = 1, norte = 2

Usando la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Entonces tenemos,

Las coordenadas de A son:

((1*10 + 2*4)/(1 + 2), (1*(-16) + 2*2)/(1 + 2), (1*6 + 2*(-6))/( 1 + 2)

((18/3), (-12/3), (-6/3))

Las coordenadas de A son (6, -4, -2)

Del mismo modo, sabemos que B divide al segmento de recta PQ en la razón 2:1.

Al comparar obtenemos,

x1 = 4, y1 = 2, z1 = -6;

x2 = 10, y2 = -16, z2 = 6 y

metro = 2, norte = 1

Usando la fórmula de la sección,

(x, y, z) = \mathbf{(\frac{(mx_2 + nx_1)}{(m + n)}, \frac{(my_2 + ny_1)}{(m + n)}, \frac{(mz_2 + nz_1)}{(m + n)})}

Entonces tenemos,

Las coordenadas de B son:

((2 * 10 + 1 * 4)/(2 + 1), (2 * -16 + 1 * 2)/(2 + 1), (2 * 6 + 1 * -6)/(2 + 1)

Las coordenadas de B son (8, -10, 2)

∴ Las coordenadas de los puntos que trisecan el segmento de recta que une los puntos P (4, 2, – 6) y Q (10, –16, 6) son (6, -4, -2) y (8, -10, 2).

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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