Pregunta 1. Encuentra la derivada de x 2 – 2 en x = 10.
Solución:
f(x) = x2 – 2
f(x+h) = (x+h) 2 – 2
Del primer principio,
Cuando, x = 10
f'(10) = 20 + 0
f'(10) = 20
Pregunta 2. Encuentra la derivada de x en x = 1.
Solución:
f(x) = x
f(x+h) = x+h
Del primer principio,
Cuando, x = 1
f'(1) = 1
Pregunta 3. Encuentra la derivada de 99x en x = l00.
Solución:
f(x) = 99x
f(x+h) = 99(x+h)
Del primer principio,
Cuando, x = 10
f'(100) = 99
Pregunta 4. Encuentra la derivada de las siguientes funciones a partir del primer principio.
(i) x 3 − 27
Solución:
f(x) = x3 – 27
f(x+h) = (x+h) 3 – 27
Del primer principio,
f'(x) = 0 2 +3x(x+0)
f'(x) = 3x 2
(ii) (x-1) (x-2)
Solución:
f(x) = (x-1) (x-2) = x2 – 3x + 2
f(x) = (x+h) 2 – 3(x+h) + 2
Del primer principio,
f'(x) = 2x+0 – 3
f'(x) = 2x – 3
(iii)
Solución:
Del primer principio,
(iv)
Solución:
Del primer principio,
Pregunta 5. Para la función
f(x) =
Demostrar que f'(1) = 100 f'(0)
Solución:
Dado,
Usando esto, derivando ambos lados
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Ahora, entonces
Por lo tanto, concluimos que
f'(1) = 100 f'(0)
Pregunta 6. Encuentra la derivada de x n + ax n-1 + a 2 x n-2 + ……………….+ a n-1 x + a n para algún número real fijo a.
Solución:
Dado,
f(x) = x n + ax n-1 + a 2 x n-2 + ……………….+ a n-1 x + a n
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Usando esto, derivando ambos lados
Pregunta 7. Para algunas constantes a y b, encuentre la derivada de
(i) (xa) (xb)
Solución:
f(x) = (xa) (xb)
f(x) = x2 – (a+b)x + ab
Derivando ambos lados,
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(ii) (ax 2 + b) 2
Solución:
f(x) = (ax 2 + b) 2
f(x) = (ax 2 ) 2 + 2(ax 2 )(b) + b 2
Derivando ambos lados,
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(iii)
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Pregunta 8. Encuentra la derivada de para alguna constante a.
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 9. Encuentra la derivada de
(i)
Solución:
Derivando ambos lados,
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
f'(x) = (2x 0 )-0
f'(x) = 2
(ii) (5x 3 + 3x – 1)(x-1)
Solución:
f(x) = (5x 3 + 3x – 1)(x-1)
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + u’v
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(iii) x -3 (5+3x)
Solución:
f(x) = x -3 (5+3x)
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + u’v
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(iv) x 5 (3-6x -9 )
Solución:
f(x) = x 5 (3-6x -9 )
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + u’v
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(v) x -4 (3-4x -5 )
Solución:
f(x) = x -4 (3-4x -5 )
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + u’v
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
(v)
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 10. Encuentra la derivada de cos x del primer principio.
Solución:
Aquí, f(x) = cos x
f(x+h) = coseno (x+h)
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
cos a – cos b = -2 sen sen
Multiplicando y buceando por 2,
f'(x) = -sen (x) (1)
f'(x) = -sen x
Pregunta 11. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:
(i) sen x cos x
Solución:
f(x) = sen x cos x
f(x+h) = sen (x+h) cos (x+h)
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen A cos B = (sen (A+B) + sen (AB))
Usando la identidad trigonométrica,
sen A – sen B = 2 cos sen
(ii) segundo x
Solución:
f(x) = seg x =
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
cos a – cos b = -2 sen sen
Multiplicamos y dividimos por 2, tenemos
(iii) 5 seg x + 4 cos x
Solución:
f(x) = 5 seg x + 4 cos x
Derivando ambos lados,
f'(x) = 5 (tan x seg x) + 4 (-sen x)
f'(x) = 5 tan x seg x – 4 sen x
(iv) cosec x
Solución:
f(x) = cosec x =
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a – sen b = 2 cos sen
Multiplicamos y dividimos por 2, tenemos
(v) 3 cot x + 5 cosec x
Solución:
f(x) = 3 cot x + 5 cosec x
Derivando ambos lados,
f'(x) = 3 g'(x) + 5
Aquí,
g(x) = cuna x =
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)
Y ahora
f'(x) = 3 g'(x) + 5
f'(x) = 3 (- cosec 2 x) + 5 (-cot x cosec x)
f'(x) = – 3cosec 2 x – 5 cot x cosec x
(vi) 5 sen x – 6 cos x + 7
Solución:
f(x) = 5 sen x – 6 cos x + 7
f(x+h) = 5 sen (x+h) – 6 coseno (x+h) + 7
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a – sen b = 2 cos sen
cos a – cos b = -2 sen sen
Multiplicamos y dividimos por 2, obtenemos
f'(x) = 5 cos x (1) + 6 sen x (1)
f'(x) = 5 cos x + 6 sen x
(vii) 2 tan x – 7 seg x
Solución:
f(x) = 2 tan x – 7 seg x
Derivando ambos lados,
f'(x) =
f'(x) = 2 g'(x) – 7
Aquí,
g(x) = tan x =
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)
g'(x) = segundo 2 x
Y ahora
f'(x) = 2 g'(x) – 7
f'(x) = 2 (seg 2 x) – 7 (seg x tan x)
f'(x) = 2 seg 2 x – 7 seg x tan x
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA