Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 15 Estadísticas – Ejercicio 15.2

Encuentre la media y la varianza para cada uno de los datos en el Ejercicio 1 al 5.

Pregunta 1. 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

Solución:

Sabemos,

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

Entonces, $\bar{x}$ = (6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12)/8

= 72/8

= 9

x _yo
Desviaciones de la media

(x _i – x’)
(xi – x’) ²

6 6 – 9 = -3 9

7 7 – 9 = -2 4

10 10 – 9 = 1 1

12 12 – 9 = 3 9

13 13 – 9 = 4 dieciséis

4 4 – 9 = – 5 25

8 8 – 9 = – 1 1

12 12 – 9 = 3 9

74

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

σ2 ⁼ (1/8) × 74

= 9,2

Por lo tanto, Media = 9 y Varianza = 9.25

Pregunta 2. Primeros n números naturales

Solución:

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

$\bar{x}$ = ((n(n + 1))2)/n

= (n + 1)/2

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

Al sustituir el valor de la media,

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \frac{n+1}{2})^2 \\ = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2x_i(\frac{n+1}{2})+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{n+1}{2})^2$
Sustituyendo valores de Sumatoria
$\\ = \frac{1}{n}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n+1}{n}[\frac{n(n+1)}{2}]+\frac{(n+1)^2}{4n}×n$

Al extraer valores comunes, tenemos,

$= (n+1)[\frac{4n+2-3n-3}{12}] \\ = \frac{(n+1)(n-1)}{12}$

σ ² = (n ² – 1)/12

Media = (n + 1)/2 y Varianza = (n ² – 1)/12

Pregunta 3. Primeros 10 múltiplos de 3

Solución:

Los múltiplos requeridos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Sabemos,

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

Entonces, $\bar{x}$ = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30)/10

= 165/10

= 16,5

x _yo
Desviaciones de la media

(x _i – x’)
(x _i – x’) ²

3 3 – 16,5 = -13,5 182.25

6 6 – 16,5 = -10,5 110.25

9 9 – 16,5 = -7,5 56.25

12 12 – 16,5 = -4,5 20.25

15 15 – 16,5 = -1,5 2.25

18 18 – 16,5 = 1,5 2.25

21 21 – 16,5 = – 4,5 20.25

24 24 – 16,5 = 7,5 56.25

27 27 – 16,5 = 10,5 110.25

30 30 – 16,5 = 13,5 182.25

742.5

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

= (1/10) × 742,5

= 74,25

Por lo tanto, Media = 16,5 y Varianza = 74,25

Pregunta 4.

x _yo	6	10	14	18	24	28	30
yo _{_}	2	4	7	12	8	4	3

Solución:

x _yo	yo _{_}	arreglar _yo x _yo	x _yo – x’	(x _i – x’) ²	f _yo (x _i – x’) ²
6	2	12	6 – 19 = 13	169	338
10	4	40	10-19 = -9	81	324
14	7	98	14-19 = -5	25	175
18	12	216	18-19 = -1	1	12
24	8	192	24-19 = 5	25	200
28	4	112	28-19 = 9	81	324
30	3	90	30-19 = 11	121	363
					1736

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

$\bar{x}$ = 760/40

= 19

También,

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

= (1/40) × 1736

= 43,4

Pregunta 5.

x _yo	92	93	97	98	102	104	109
yo _{_}	3	2	3	2	6	3	3

Solución:

x _yo	yo _{_}	arreglar _yo x _yo	x _yo – x’	(x _i – x’) ²	f _yo (x _i – x’) ²
92	3	276	92-100 = -8	64	192
93	2	186	93-100 = -7	49	98
97	3	291	97-100 = -3	9	27
98	2	196	98-100 = -2	4	8
102	6	612	102-100 = 2	4	24
104	3	312	104-100 =4	dieciséis	48
109	3	327	109-100 = 9	81	243
	norte = 22	2200			640

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

$\bar{x}$ = 2200/22

= 100

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

= (1/22) × 640

= 29,09

Por lo tanto, Media = 100 y Varianza = 29.09

Pregunta 6. Encuentra la media y la desviación estándar usando el método abreviado.

x _yo	60	61	62	63	64	sesenta y cinco	66	67	68
yo _{_}	2	1	12	29	25	12	10	4	5

Solución:

$\overline X = A + \frac{\sum_{i=1}^{a}f_iy_i}{N} × h$

Donde A = 64, h = 1

Entonces, $\bar{x}$ = 64 + ((0/100) × 1)

= 64 + 0

= 64

Entonces, la varianza,

$\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2}[N\sum f_iy_i^2 - (\sum f_iy_i)^2]$

σ ² = (1 ² /100 ² ) [100(286) – 0 ² ]

= (1/10000) [28600 – 0]

= 28600/10000

= 2,86

Por lo tanto, desviación estándar = σ = √2.886

= 1.691

Por lo tanto,

Media = 64 y Desviación Estándar = 1.691

Pregunta 7.

Clases	0-30	30-60	60-90	90-120	120-150	150-180	180-210
Frecuencias	2	3	5	10	3	5	2

Solución:

Clases	yo _{_}	x _yo	arreglar _yo x _yo	(x _i – x’)	(xi – x’) ²	f _yo (xi – x’) ²
0-30	2	15	30	-92	8464	16928
30-60	3	45	135	-62	3844	11532
60-90	5	75	375	-32	1024	5120
90-120	10	105	1050	-2	4	40
120-150	3	135	405	28	784	2352
150-180	5	165	825	58	3364	16820
180-210	2	195	390	88	7744	15488
	norte = 30		3210			68280

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

$\bar{x}$ = 3210/30

= 107

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

= (1/30) × 68280

= 2276

Por lo tanto, Media = 107 y Varianza = 2276

pregunta 8

Clases	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
Frecuencias	5	8	15	dieciséis	6

Solución:

Clases	yo _{_}	x _yo	arreglar _yo x _yo	_{(xi –} x ‘)	(x _i -x’) ²	f _yo (x _i -x’) ²
0-10	5	5	25	-22	484	2420
10-20	8	15	120	-12	144	1152
20-30	15	25	375	-2	4	60
30-40	dieciséis	35	560	8	64	1024
40-50	6	45	270	18	324	1944
	norte = 50		1350			6600

$Mean = \frac{Sum \space of \space total \space observations}{No.\space of\space obervations} \\ = \frac{\sum_{i=1}^{a}x_i}{n}$

$\bar{x}$ = 1350/50

= 27

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{a}(x_i-\overline{x})^2$

= (1/50) × 6600

= 132

Por lo tanto, Media = 27 y Varianza = 132

Pregunta 9. Encuentra la media, la varianza y la desviación estándar usando el método abreviado

Alturas en cm	70-75	75-80	80-85	85-90	90-95	95-100	100-105	105-110	110-115
Frecuencias	3	4	7	7	15	9	6	6	3

Solución:

Altura	yo _{_}	X _yo	Y _{i =} (X _i -A)/h	y _yo²	yo y _yo_{_}	f _yo y _yo²
70-75	2	72.5	-4	19	-12	48
75-80	1	77.5	-3	9	-12	36
80-85	12	82.5	-2	4	-14	28
85-90	29	87.5	-1	1	-7	7
90-95	25	92.5	0	0	0	0
95-100	12	97.5	1	1	9	9
100-105	10	102.5	2	4	12	24
105-110	4	107.5	3	9	18	54
110-115	5	112.5	4	dieciséis	12	48
115-120	norte = 60				6	254

$\overline X = A + \frac{\sum_{i=1}^{a}f_iy_i}{N} × h$

Donde, A = 92.5, h = 5

Entonces, $\bar{x}$ = 92.5 + ((6/60) × 5)

= 92,5 + 0,5

= 92,5 + 0,5

= 93

Entonces, Varianza,

$\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2}[N\sum f_iy_i^2 - (\sum f_iy_i)^2]$

Desviación estándar = σ = √105.583

= 10.275

Pregunta 10. Los diámetros de los círculos (en mm) dibujados en un diseño se dan a continuación:

Diámetros	33-36	37-40	41-44	45-48	49-52
Nº de círculos	15	17	21	22	25

Calcule la desviación estándar y el diámetro medio de los círculos.

[Sugerencia: primero haga que los datos sean continuos haciendo que las clases sean 32.5-36.5, 36.5-40.5, 40.5-44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5 y luego continúe.]

Solución:

Altura	yo _{_}	x _yo	Y _i = (X _i -A)/h	y _yo²	yo y _yo_{_}	fiyi ²
32,5-36,5	15	34.5	-2	4	-30	60
36,5-40,5	17	38.5	-1	1	-17	17
40,5-44,5	21	42.5	0	0	0	0
44,5-48,5	22	46.5	1	1	22	22
48,5-52,5	25	50.5	2	4	50	100
	N=100				25	199

$\overline X = A + \frac{\sum_{i=1}^{a}f_iy_i}{N} × h$

Donde, A = 42.5, h = 4

$\bar{x}$ = 42,5 + (25/100) × 4

= 42,5 + 1

= 43,5

Entonces, Varianza,

$\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2}[N\sum f_iy_i^2 - (\sum f_iy_i)^2]$

σ ² = (4 ² /100 ² )[100(199) – 25 ² ]

Al resolver obtenemos,

= (1/625) [19900 – 625]

= 19275/625

= 771/25

= 30,84

Por lo tanto, desviación estándar = σ = √30.84

= 5.553

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Encuentre la media y la varianza para cada uno de los datos en el Ejercicio 1 al 5.

Pregunta 1. 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

Pregunta 2. Primeros n números naturales

Pregunta 3. Primeros 10 múltiplos de 3

Pregunta 4.

Pregunta 5.

Pregunta 6. Encuentra la media y la desviación estándar usando el método abreviado.

Pregunta 7.

pregunta 8

Pregunta 9. Encuentra la media, la varianza y la desviación estándar usando el método abreviado

Pregunta 10. Los diámetros de los círculos (en mm) dibujados en un diseño se dan a continuación:

Calcule la desviación estándar y el diámetro medio de los círculos.

[Sugerencia: primero haga que los datos sean continuos haciendo que las clases sean 32.5-36.5, 36.5-40.5, 40.5-44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5 y luego continúe.]

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