Pregunta 1. Si (x/3 + 1, y – 2/3) = (5/3, 1/3), encuentra los valores de x e y.
Solución:
Lo sabemos,
Si dos pares ordenados son iguales, entonces sus primeros y segundos elementos correspondientes son iguales.
Nos dan que los pares (x/3 + 1, y – 2/3) y (5/3, 1/3) son iguales, por lo que los elementos correspondientes también deberían ser iguales.
Entonces tenemos, (x/3 + 1) = 5/3 y (y – 2/3) = 1/3
Al resolver ambas ecuaciones, obtenemos:
x/3 + 1 = 5/3 y y – 2/3 = 1/3
x/3 = 5/3 – 1 y y = 1/3 + 2/3
x/3 = 2/3 y y = 3/3
x = 2 y y = 1
Por lo tanto, x = 2 y y = 1
Pregunta 2. Si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B = {3, 4, 5}, encuentra el número de elementos en (A×B).
Solución:
Dado, número de elementos del conjunto A = 3
Los elementos del conjunto B son 3, 4 y 5.
Entonces, número de elementos del conjunto B = 3
Entonces, número de elementos en A×B = (Número de elementos en A) × (Número de elementos en B)
= 3 × 3 = 9
Por lo tanto, el número de elementos en A×B es 9.
Pregunta 3. Si G = {7, 8} y H = {5, 4, 2}, encuentra G × H y H × G.
Solución:
Dado, G = {7, 8} y H = {5, 4, 2}
El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos P × Q es el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de P y Q, es decir,
PAGS × Q = {(pags, q) : pags ∈ PAGS, q ∈ Q}
Entonces, G x H = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
y H x G = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
Pregunta 4. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la declaración es falsa, reescribe la declaración dada correctamente.
(i) Si P = {m, n} y Q = { n, m}, entonces P × Q = {(m, n),(n, m)}.
(ii) Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces A × B es un conjunto no vacío de pares ordenados (x, y) tales que x ∈ A e y ∈ B.
(iii) Si A = {1, 2}, B = {3, 4}, entonces A × (B ∩ ∅) = ∅.
Solución:
(i) La declaración dada es falsa.
La afirmación correcta es: Si P = {m, n} y Q = {n, m}, entonces P x Q = { (m, m), n), (n, m), (n, n) }
(ii) La afirmación dada es verdadera.
(iii) La afirmación dada es verdadera.
Pregunta 5. Si A = {–1, 1}, encuentre A × A × A.
Solución:
A × A × A para un conjunto A no vacío viene dado por:
A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}, donde (a, b, c) se denomina triplete ordenado
Aquí, dado A = {–1, 1},
Entonces, A × A × A = {(-1, -1,-1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), ( 1, -1, -1), (1,-1, 1), (1, 1,-1), (1, 1, 1)}
Pregunta 6. Si A × B = {(a, x),(a , y), (b, x), (b, y)}. Encuentre A y B.
Solución:
Dado,
A x B = { (a, x), (a, y), (b, x), (b, y) }
Dado que el producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos P × Q está dado por:
PAGS × Q = {(pags, q) : pags ∈ PAGS, q ∈ Q}
Entonces, A es el conjunto de todos los primeros elementos y B es el conjunto de todos los segundos elementos.
Por lo tanto, A = {a, b} y B = {x, y}
Pregunta 7. Sean A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} y D = {5, 6, 7, 8}. Comprueba eso
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
(ii) A × C es un subconjunto de B × D.
Solución:
Dado, A= {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} y D = {5, 6, 7, 8}
(i) Para verificar: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
Como B ∩ C= {1,2, 3,4} ∩ {5,6} = ∅
Así, LHS= A × (B ∩ C) = A × ∅ = ∅
Ahora,
A x B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) }
A x C = { (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6) }
Así, RHS = (A × B) ∩ (A × C) = ∅
Por lo tanto, LHS = RHS
Por lo tanto, verificado.
(ii) Para verificar: A × C es un subconjunto de B × D
Aquí,
A x C = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B x D = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8) }
Como todos los elementos del conjunto A x C son los elementos del conjunto B x D
Por lo tanto, A x C es un subconjunto de B × D
Por lo tanto, verificado.
Pregunta 8. Sean A = {1, 2} y B = {3, 4}. Escribe A × B. ¿Cuántos subconjuntos tendrá A × B? Ponlos en una lista.
Solución:
Dado, A= {1, 2} y B = {3, 4}
Entonces, A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Número de elementos en A × B = n(A × B) = 4
Lo sabemos,
Para un conjunto S con n(S) = m, el número de subconjuntos de S viene dado por n[P(S)] = 2 m .
Así, el conjunto A × B tiene 2 4 = 16 subconjuntos.
Estos subconjuntos son: ∅, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, { (1, 3), (1, 4) }, { (1, 3), (2, 3) }, { (1, 3), (2, 4) }, {(1, 4), (2, 3)}, { (1, 4) , (2, 4) }, { (2, 3), (2, 4) }, {(1, 3), (1, 4), (2, 3) }, { (1, 3), ( 1, 4), (2, 4) }, { (1, 3), (2, 3), (2, 4) }, { (1, 4), (2, 3), (2, 4) }, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
Pregunta 9. Sean A y B dos conjuntos tales que n(A) = 3 y n(B) = 2. Si (x, 1), (y, 2), (z, 1) están en A × B, encuentre A y B, donde x, y y z son elementos distintos.
Solución:
Dado,
n(A) = 3 y n(B) = 2; y (x, 1), (y, 2), (z, 1) están en A × B.
Lo sabemos,
A es el conjunto de los primeros elementos y B es el conjunto de los segundos elementos del par ordenado de elementos de A x B.
Entonces, los elementos de A son x, y, z y los elementos de B son 1, 2
Como n(A) = 3 y n(B) = 2, es claro que el conjunto A = {x, y, z} y el conjunto B = {1, 2}.
Pregunta 10. El producto cartesiano A × A tiene 9 elementos entre los que se encuentran (–1, 0) y (0,1). Encuentre el conjunto A y los elementos restantes de A×A.
Solución:
Lo sabemos,
Si hay p elementos en A y q elementos en B, entonces habrá pq elementos en A × B
, es decir, si n(A) = p y n(B) = q, entonces n(A × B) = pq
Dado, n(A × A) = 9
Entonces, n(A) × n(A) = 9
Así, n(A) = 3
También dado que, los pares ordenados (-1, 0) y (0, 1) son dos de los nueve elementos de A × A.
Y sabemos que A × A = {(a, a): a ∈ A}.
Entonces, -1, 0 y 1 deberían ser los elementos de A.
Como n(A) = 3, claramente A= {-1, 0, 1}.
Por lo tanto, los elementos restantes del conjunto A × A son los siguientes: (-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), ( 1, 0) y (1, 1)
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Artículo escrito por mandeepsingh04 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA