Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 5 Números complejos y ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 5.2

Encuentra el módulo y los argumentos de cada uno de los números complejos i. Ejercicios 1 a 2.

Pregunta 1. z = – 1 – i √3

Solución:

Tenemos, 

z = -1 – i√3

Sabemos que, z = r (cosθ + i sinθ) 

Por lo tanto,

r cosθ = -1 —(1)

r senθ = -√3 —-(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos 

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (-√3) 2  

r2 = 1 + 3

r = √4

Como r tiene que ser positivo, entonces r = 2

Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = -1/2 y senθ = -√3/2

Por lo tanto, θ = – 2π / 3 (Dado que cosθ y senθ son negativos, θ se encuentra en el tercer cuadrante)

Por lo tanto, el módulo y el argumento de z = -1 – i√3 son 2 y – 2π / 3 respectivamente.

Pregunta 2. z = -√3 + i

Solución:

Tenemos,

z = -√3 + yo

Sabemos que, z = r (cosθ + i sinθ)

Por lo tanto,

r cosθ = -√3 —(1)

r senθ = 1 —-(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-√3) 2 + (1)  

r 2   = 3 + 1   (Puesto que, cos 2 θ + sen 2 θ = 1)

r 2 = 3 + 1

r = √4

Como r tiene que ser positivo, entonces r = 2

Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = -√3 / 2 y senθ = 1 / 2

Por lo tanto, θ = 5π / 6 (Dado que cosθ es negativo y senθ positivo, por lo tanto, θ se encuentra en el segundo cuadrante)

Por lo tanto, el módulo y el argumento de z = -√3 + i son 2 y 5π / 6 respectivamente.

Convierta cada uno de los números complejos dados en los ejercicios 3 a 8 en la forma polar:

Pregunta 3. 1 – yo

Solución:

Tenemos z = 1 – i,

Sea r cosθ = 1 —(1) y,

      r senθ = -1 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos

r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) = (1) 2 + (-1)  

r 2 = 2

r = √2 ( Ya que r tiene que ser positivo )

Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = 1 / √2 y senθ = -1 / √2

Por lo tanto, θ = – π / 4 (Ya que cosθ es positivo y senθ es negativo, entonces θ es negativo ya que se encuentra en el cuarto cuadrante)

Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (- π / 4) + i sin (- π / 4)).

Pregunta 4. -1 + i 

Solución:

Tenemos z = -1 + i,

Sea r cosθ = -1 —(1) y,

      r senθ = 1 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (1) 2  

r 2 = 2

r = √2 (Ya que r tiene que ser positivo)

Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = -1 / √2 y senθ = 1 / √2

Por lo tanto, θ = 3π / 4 (Dado que cosθ es negativo y senθ positivo, θ es positivo ya que se encuentra en el segundo cuadrante)

Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (3π / 4) + i sin (3π / 4)).

Pregunta 5. -1 – yo

Solución:

Tenemos z = -1 – i,

Sea r cosθ = -1 —(1) y,

     r senθ = -1 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (-1) 2  

r 2 = 2

r = √2 ( Ya que r tiene que ser positivo )

Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = -1 / √2 y senθ = -1 / √2

Por lo tanto , θ = -3π / 4 (Ya que cosθ negativo y senθ negativo, por lo tanto θ es negativo ya que se encuentra en el tercer cuadrante)

Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (-3π / 4) + i sin (-3π / 4)).

Pregunta 6. -3 

Solución:

Tenemos z = -3,

Sea r cosθ = -3 —(1) y,

      r senθ = 0 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-3) 2 + (0)  

r2 = 9

r = 3 (Ya que r tiene que ser positivo)

Poniendo r = 3 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = -3 / 3 y senθ = 0 / 3

Por lo tanto,   θ = π

Por tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r senθ = 3(cos (π) + i sen (π)).

Pregunta 7. √3 + i 

Solución:

Tenemos z = √3 + i,

Sea r cosθ = √3 —(1) y,

      r senθ = 1 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (√3) 2 + (1) 2  

r2 = 4

r = 2 (Ya que r tiene que ser positivo)

Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = √3 / 2 y senθ = 1 / 2

Por lo tanto, θ = π / 6 (Ya que cosθ es positivo y senθ es positivo, entonces θ es positivo ya que se encuentra en el primer cuadrante)

Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = 2 (cos (π / 6) + i sin (π / 6)).

Pregunta 8. yo

Solución:

Tenemos z = i,

Sea r cosθ = 0 —(1) y,

      r senθ = 1 —(2)

Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos

r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (0) 2 + (1)  

r 2 = 1

r = 1 (Ya que r tiene que ser positivo)

Poniendo r = 1 en (1) y (2), obtenemos

cosθ = 0/1 y senθ = 1/1

Por lo tanto, θ = π / 2

Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + ir sinθ = cos (π / 2) + i sin (π / 2)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por coder_27 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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