Encuentra el módulo y los argumentos de cada uno de los números complejos i. Ejercicios 1 a 2.
Pregunta 1. z = – 1 – i √3
Solución:
Tenemos,
z = -1 – i√3
Sabemos que, z = r (cosθ + i sinθ)
Por lo tanto,
r cosθ = -1 —(1)
r senθ = -√3 —-(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (-√3) 2
r2 = 1 + 3
r = √4
Como r tiene que ser positivo, entonces r = 2
Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = -1/2 y senθ = -√3/2
Por lo tanto, θ = – 2π / 3 (Dado que cosθ y senθ son negativos, θ se encuentra en el tercer cuadrante)
Por lo tanto, el módulo y el argumento de z = -1 – i√3 son 2 y – 2π / 3 respectivamente.
Pregunta 2. z = -√3 + i
Solución:
Tenemos,
z = -√3 + yo
Sabemos que, z = r (cosθ + i sinθ)
Por lo tanto,
r cosθ = -√3 —(1)
r senθ = 1 —-(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-√3) 2 + (1) 2
r 2 = 3 + 1 (Puesto que, cos 2 θ + sen 2 θ = 1)
r 2 = 3 + 1
r = √4
Como r tiene que ser positivo, entonces r = 2
Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = -√3 / 2 y senθ = 1 / 2
Por lo tanto, θ = 5π / 6 (Dado que cosθ es negativo y senθ positivo, por lo tanto, θ se encuentra en el segundo cuadrante)
Por lo tanto, el módulo y el argumento de z = -√3 + i son 2 y 5π / 6 respectivamente.
Convierta cada uno de los números complejos dados en los ejercicios 3 a 8 en la forma polar:
Pregunta 3. 1 – yo
Solución:
Tenemos z = 1 – i,
Sea r cosθ = 1 —(1) y,
r senθ = -1 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos
r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) = (1) 2 + (-1) 2
r 2 = 2
r = √2 ( Ya que r tiene que ser positivo )
Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = 1 / √2 y senθ = -1 / √2
Por lo tanto, θ = – π / 4 (Ya que cosθ es positivo y senθ es negativo, entonces θ es negativo ya que se encuentra en el cuarto cuadrante)
Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (- π / 4) + i sin (- π / 4)).
Pregunta 4. -1 + i
Solución:
Tenemos z = -1 + i,
Sea r cosθ = -1 —(1) y,
r senθ = 1 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (1) 2
r 2 = 2
r = √2 (Ya que r tiene que ser positivo)
Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = -1 / √2 y senθ = 1 / √2
Por lo tanto, θ = 3π / 4 (Dado que cosθ es negativo y senθ positivo, θ es positivo ya que se encuentra en el segundo cuadrante)
Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (3π / 4) + i sin (3π / 4)).
Pregunta 5. -1 – yo
Solución:
Tenemos z = -1 – i,
Sea r cosθ = -1 —(1) y,
r senθ = -1 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-1) 2 + (-1) 2
r 2 = 2
r = √2 ( Ya que r tiene que ser positivo )
Poniendo r = √2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = -1 / √2 y senθ = -1 / √2
Por lo tanto , θ = -3π / 4 (Ya que cosθ negativo y senθ negativo, por lo tanto θ es negativo ya que se encuentra en el tercer cuadrante)
Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = √2 (cos (-3π / 4) + i sin (-3π / 4)).
Pregunta 6. -3
Solución:
Tenemos z = -3,
Sea r cosθ = -3 —(1) y,
r senθ = 0 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2), obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (-3) 2 + (0) 2
r2 = 9
r = 3 (Ya que r tiene que ser positivo)
Poniendo r = 3 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = -3 / 3 y senθ = 0 / 3
Por lo tanto, θ = π
Por tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r senθ = 3(cos (π) + i sen (π)).
Pregunta 7. √3 + i
Solución:
Tenemos z = √3 + i,
Sea r cosθ = √3 —(1) y,
r senθ = 1 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (√3) 2 + (1) 2
r2 = 4
r = 2 (Ya que r tiene que ser positivo)
Poniendo r = 2 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = √3 / 2 y senθ = 1 / 2
Por lo tanto, θ = π / 6 (Ya que cosθ es positivo y senθ es positivo, entonces θ es positivo ya que se encuentra en el primer cuadrante)
Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + i r sinθ = 2 (cos (π / 6) + i sin (π / 6)).
Pregunta 8. yo
Solución:
Tenemos z = i,
Sea r cosθ = 0 —(1) y,
r senθ = 1 —(2)
Al elevar al cuadrado y sumar (1) y (2) , obtenemos
r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = (0) 2 + (1) 2
r 2 = 1
r = 1 (Ya que r tiene que ser positivo)
Poniendo r = 1 en (1) y (2), obtenemos
cosθ = 0/1 y senθ = 1/1
Por lo tanto, θ = π / 2
Por lo tanto, z en forma polar: z = r cosθ + ir sinθ = cos (π / 2) + i sin (π / 2)