Pregunta 1. Encuentra la suma de enteros impares del 1 al 2001.
Solución:
Los enteros impares forman un AP con
Diferencia común(d)=2 y primer término (a)=1
Aquí, a+(n-1)d=2001
⇒1+(n-1)2=2001
⇒2n-2=2000
⇒n=1001
S n = n[2a + (n – 1)d]/2
S1001 = 1001 [2(1)+(1001-1)2]/2
=1001[2+2000]/2
=1001[2002]/2
=1001[1001]
=1002001
Por lo tanto, la suma de los enteros impares del 1 al 2001 es 1002001.
Pregunta 2. En un AP el primer término es 2 y la suma de los primeros 5 términos es la cuarta parte de los siguientes 5 términos. Demuestre que el vigésimo término es -112.
Solución:
El primer término(a)=2.
Sea la diferencia común d.
Suma de los primeros 5 términos = 10+10d.
Suma de los próximos 5 términos = 10+35d.
Según la condición dada,
10+10d=¼(10+35d)
⇒40+40d=10+35d
⇒5d=-30
⇒d=-6
20 =2+(20-1)(-6)=2-(19)6= 2-114 =-112
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 3. Si la suma de los primeros n términos de un AP es (pn + qn 2 ), donde p y q son constantes. Encuentra la diferencia común.
Solución:
Lo sabemos,
S n = n[2a + (n – 1)d]/2
Según la condición dada,
n[2a+(n-1)d]/2 = pn+qn 2
⇒n[2a+nd-d]/2 = pn+qn 2
⇒na+n 2 (d/2)-n(d/2) = pn+qn 2
Comparando los coeficientes de n 2 en ambos lados obtenemos,
d/2=q ⇒ d=2q
Por lo tanto, la diferencia común es 2q.
Pregunta 4. ¿Cuántos términos de AP -6, -11/7, -5,… se necesitan para dar la suma -25?
Solución:
Sea n el número de términos para dar la suma -25.
Sabemos S n = n(2a+(n-1)d)/2 donde n es el número de términos, a es el primer término y d es la diferencia común.
Aquí, a=-6 y d=(-11/2)+6=(-11+12)/2=1/2.
Sustituyendo estos valores en la fórmula de suma obtenemos,
-25=n[2(-6)+(n-1)(1/2)]/2
⇒-50=n[-12+(n/2)-(1/2)]
⇒-50=n[(-25/2)+(n/2)]
⇒-100=n(-25+n)
⇒n 2 -25n+100=0
⇒n 2 -5n-20n+100=0
⇒n(n-5)-20(n-5)=0
⇒n=20 o 5
Por lo tanto, el número de términos requeridos es 5 o 20.
Pregunta 5. En un AP si el p -ésimo término es 1/q y el q -ésimo término es 1/p. Demostrar que la suma de los primeros pq términos es (pq+1)/2 donde p ≠ q.
Solución:
Se sabe que el término general de un PA es n = a+(n-1)d .
Dado,
p ésimo término=a p =a+(p-1)d=1/q —(1)
q th término = a q = a+(q-1)d = 1/p —(2)
Restando (2) de (1):
(p-1)d-(q-1)d=(1/q)-(1/p)
⇒(p-1-q+1)d=(pq)/pq
⇒(pq)d=(pq)/pq
⇒d=1/pq
Poniendo el valor de d en (1):
a+(p-1)/pq=1/q
⇒a=(1/q)-(1/q)+(1/pq)=1/pq
Por lo tanto,
S pq = pq[2a+(pq-1)d]/2
= pq[(2/pq)+((pq-1)/pq)]/2
=1+(pq-1)/2
=(pq+1)/2
La suma de los primeros pq términos del AP es (pq+1)/2.
Pregunta 6. Si la suma de cierto número de términos del AP 25, 22, 19,… es 116. Halla el último término.
Solución:
Sea n el número de términos necesarios para dar la suma de 116
Sabemos, S n =n[2a+(n-1)d]/2
Dado, a=25 y d= 22-25=-3
Sustituyendo los valores que obtenemos,
116=n[2(25)+(n-1)(-3)]/2
⇒232=n[50-3n+3]
⇒232=n(53-3n)=53n-3n 2
⇒3n 2 -53n+232=0
⇒3n 2 -24n-29n+232=0
⇒3n(n-8)-29(n-8)=0
⇒(n-8)(3n-29)=0
⇒n=8 o 29/3
Pero n no puede ser 29/3. Por lo tanto, n=8.
un 8 es el último término=a+(n-1)d=25+(8-1)(-3)=25+(7)(-3)=25-21=4
Por lo tanto, el último término es 4.
Pregunta 7. Encuentre la suma de n términos de AP si su k -ésimo término se da como 5k+1.
Solución:
Dado, el k -ésimo término es 5k+1
k -ésimo término = a k = a+(k-1)d
a+(k-1)d=5k+1
⇒ a + kd – d=5k+1
Comparando los coeficientes en ambos lados, obtenemos d=5
ad=1⇒a-5=1⇒a=6
Sn = n [2a+(n-1)d]/2
= n[2(6)-(n-1)5]/2
=n[12+5n-5]/2
= n(5n+7)/2 .
Pregunta 8. Encuentra la suma de todos los números naturales entre 100 y 1000, que son múltiplos de 5.
Solución:
Los números naturales entre 100 y 1000 que son múltiplos de 5 son, 105, 110, . . . , 995. Se puede ver como un AP que comienza con a= 105 y diferencia común d=5.
a+(n-1)d=995
⇒105+(n-1)5=995
⇒(n-1)5=995-105=890
⇒n-1=178
⇒n=179
Sn =179[2(105)+(179-1)5]/ 2
=179[2(105)+(178)5]/2
=179[105+(89)5]
=179[105+445]
=179[550]
=98450
La suma requerida es 98450.
Pregunta 9. La suma de n términos de dos AP están en la razón 5n+4:9n+6. Encuentra la razón de sus 18 vos términos.
Solución:
Sean a 1 , a 2 y d 1 , d 2 el primer término y la diferencia común del primer y segundo AP respectivamente.
Dado,
(Suma de n términos del primer AP)/(Suma de n términos del segundo AP)=(5n+4)/(9n+6)
⇒{n[2a 1 -(n-1)d 1 ]/2}/{n[2a 2 +(n-1)d 2 ]/2}=(5n+4)/(9n+6)
⇒[2a 1 +(n-1)d 1 ]/[2a 2 +(n-1)d 2 ]=(5n+4)/(9n+6) —(1)
Sustituyendo n=35 en (1),
(2a 1 +34d 1 )/(2a 2 +34d 2 )=[5(35)+4]/[9(35)+6]
⇒[a 1 +17d 1 ]/[a 2 +17d 2 ]=179/321 —(2)
(término 18 del primer AP)/(término 18 del segundo AP)=(a 1 +17d 1 )/(a 2 +17d 2 ) —(3)
RHS de (3) = LHS de (2). Entonces, obtenemos,
(Término 18 del primer AP)/(Término 18 del segundo AP)=179/321
Por lo tanto, la relación del término 18 de ambos AP es 179:321.
Pregunta 10. Si la suma de los primeros p términos de un AP es igual a la suma de los primeros q términos, encuentre la suma de los primeros (p + q) términos.
Solución:
Sean a y d el primer término y la diferencia común del AP respectivamente.
Dado,
p[2a+(p-1)d]/2=q[2a+(q-1)d]/2
⇒p[2a+(p-1)d]=q[2a+(q-1)d]
⇒2ap+pd(p-1)=2aq+qd(q-1)
⇒2a(pq)+d[p(p-1)-q(q-1)]=0
⇒2a(pq)+d[p 2 -pq 2 +q]=0
⇒2a(pq)+d[(pq)(p+q)-(pq)]=0
⇒2a(pq)+d[(pq)(p+q-1)]=0
⇒2a+d(p+q-1)=0
⇒d=-2a/(p+q-1) —(1)
Entonces, S p+q =(p+q)[2a+(p+q-1)d]/2
Poniendo el valor de d ,
⇒S p+q =(p+q)[2a-2a]/2=0
Por lo tanto, la suma de los primeros (p+q) términos del AP es 0.
Pregunta 11. La suma de los primeros términos p, q y r de un AP son a, b y c respectivamente. Demuestre que {a(qr)/p}+{b(rp)/q}+{c(pq)/r=0.
Solución:
Sean a y d el primer término y la diferencia común del AP respectivamente.
Dado,
S p =p[2a1+(p-1)d]/2=a
⇒2a1=(p-1)d=2a/p —(1)
Sq=q[2a1+(q-1)d]/2=b
⇒2a1+(q-1)d=2b/q —(2)
Sr=r[2a1+(r-1)d]/2=c
⇒2a1+(r-1)d=2c/r —(3)
Restando (2) de (1), obtenemos
(p-1)d-(q-1)d=(2a/p)-(2b/q)
⇒d(p-1-q+1)=(2aq-2bq)/pq
⇒d=2(aq-pb)/pq(pq) —(4)
Restando (3) de (2), obtenemos
(q-1)d-(r-1)d=(2b/q)-(2c/r)
⇒d(q-1-r+1)=(2b/q)-(2c/r)
⇒d(qr)=(2br-2qc)/qr
⇒d={2(br-qc)}/{qr(qr)} —(5)
Igualando ambos valores de d en (4) y (5), obtenemos
(aq-bp)/(pq(pq))=(br-qc)/(qr(qr))
⇒qr(qr)(aq-bq)=pq(pq)(br-qc)
⇒r(aq-pb)(qr)=p(br-qc)(pq)
⇒(aqr-bpr)(qr)=(bpr-pqc)(pq)
Dividiendo ambos lados por pqr,
{(a/p)-(b/q)}(qr)={(b/q)-(c/r)}(pq)
⇒(a/p)(qr)-(b/q)(q-r+pq)+(c/r)(pq)=0
⇒(a(qr)/p)+(b(rp)/q)+(c(pq)/r)=0.
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 12. La razón de la suma de myn términos de AP es m 2 :n 2 . Muestre que la razón de m -ésimo yn -ésimo término es (2m-1):(2n-1).
Solución:
Sean a y d el primer término y la diferencia común del AP respectivamente.
Dado,
(Suma de m términos)/(Suma de n términos)=m 2 /n 2
⇒[m(2a+(m-1)d)/2]/[n(2a+(n-1)d)/2]=m 2 /n 2
⇒[2a+(m-1)d]/[2a+(n-1)d]=m/n —(1)
Poniendo m=2m-1 y n=2n-1 en (1), obtenemos
[2a+(2m-2)d]/[2a+(2n-2)d]=(2m-1)/(2n-1)
⇒[a+(m-1)d]/[a+(n-1)d]=[2m-1]/[2n-1] —(2)
[m ésimo término de AP]/[n ésimo término de AP]=[a+(m-1)d]/[a+(n-1)d] —(3)
RHS de (3) = LHS de (2). Entonces, obtenemos,
[m ésimo término de AP]/[n ésimo término de AP]=(2m-1)/(2n-1)
Por lo tanto, demostrado
Pregunta 13. Si la suma de n términos de un AP es 3n 2 +5n y su m -ésimo término es 164, encuentra el valor de m.
Solución:
Sean a y d el primer término y la diferencia común del AP respectivamente.
un metro =a+(m-1)d=164 —(1)
Sn = n [2a+(n-1)d]/2
Dado,
n[2a+nd-d]/2=3n 2 +5n
⇒na+(n 2 d/2)=3n 2 +5n
Comparando coeficientes en ambos lados,
d/2=3⇒d=6 y a-(d/2)=5⇒a-3=5 ⇒ a=8
De 1),
8+(m-1)6=164
⇒ (m-1)6=164-8=156
⇒ m-1=26
⇒m=27
Por lo tanto, el valor de m es 27.
Pregunta 14. Inserta 5 números entre 8 y 26 de manera que la secuencia resultante esté en AP
Solución:
Sean A 1 , A 2 , A 3 , A 4 y A 5 5 números entre 8 y 26 tales que forme un AP
a=8, b=26, n=7
Podemos ver, 26=8+(7-1)d
⇒6d=26-8=18
⇒d=3
A 1 = a + d = 8 + 3 = 11
A2 = a+2d=8+2(3)=8+6=14
A3 =a + 3d=8+3(3)=8+9=17
A4 =a+4d=8+4(3)=8+12= 20
A 5 =a+5d=8+5(3)=8+15=23
Por lo tanto, los 5 números requeridos entre 8 y 26 para formar un AP son 11, 14, 17, 20 y 23.
Pregunta 15. Si (a n + b n )/(a n-1 + b n-1 ) es el AM entre a y b. Encuentre el valor de n.
Solución:
AM de a y b=(a+b)/2
Según lo dado,
(a+b)/2=(a n +b n )/(a n-1 +b n-1 )
⇒(a+b)(a n-1 +b n-1 )=2((a n +b n )
⇒a n +ab n-1 +ba n-1 +b n =2a n +2b n
⇒ab n-1 +a n-1 b=a n +b n
⇒ab n-1 -b n =a n -a n-1 b
⇒b n-1 (ab)=a n-1 (ab)
⇒bn -1 = an -1
⇒(a/b) n-1 =1=(a/b) 0
⇒n-1=0
⇒n =1
Pregunta 16. Entre 1 y 31 se han insertado m números de tal forma que la sucesión resultante es un AP y la relación del 7º y (m-1) º término es 5:9. Encuentre el valor de m.
Solución:
Sean A 1 , A 2 , . . ., A m sean m números tales que 1, A 1 , A 2 , . . ., A m , 31 es un AP
a=1, b=31, n=m+2
31=1+(m+2-1)d
⇒30=(m+1)d
⇒d=30/(m+1) —(1)
A 1 = a + d
A2 = a+2d
A 3 =a+3d
A4 =a+4d . . .
A 7 =a+7d
A m =a+(m-1)d
Según lo dado,
(a-7d)/[a+(m-1)d]=5/9
⇒[1+7(30/(m+1))]/[1+(m-1)(30/m+1)]=5/9 [De (1)]
⇒[m+1+7(30)]/[m+1+30(m-1)]=5/9
⇒[m+1+210]/[m+1+30m-30]=5/9
⇒[m+211]/[31m-29]=5/9
⇒9m+1899=155m-145
⇒155m-9m=1899+145
⇒146m=2044
⇒m=14
Por lo tanto, el valor de m es 14.
Pregunta 17. Un hombre comienza a pagar un préstamo como primera cuota de Rs. 100. Si aumenta la cuota en Rs. 5 de cada mes, ¿qué cantidad pagará en la 30ª cuota?
Solución:
Dado, la primera cuota del préstamo es de 100 rupias. La segunda cuota del préstamo de 105 rupias y así sucesivamente. Podemos ver que la cantidad que el hombre paga cada mes forma un AP
Primer término, a=100. Diferencia común, d=5
30 = a +(30-1)d
=100+(29)5
=100+145
=245
Por lo tanto, la cuota a pagar en la cuota 30 es de 245 rupias.
Pregunta 18. Los ángulos de un polígono formarán un AP con una diferencia común d de 5° y un primer término a de 120°. Encuentra el número de lados del polígono.
Solución:
Se sabe que la suma de todos los ángulos de un polígono de n lados es 180°(n-2).
Es decir, Sn =180°(n-2 )
⇒n[2a+(n-1)d]/2=180°(n-2)
⇒n[240+(n-1)5]=360(n-2)
⇒240n+5n 2 -5n=360n-720
⇒5n 2 +235n-360n+720=0
⇒5n 2 -125n+144=0
⇒n 2 -16n-9n+144=0
⇒n(n-16)-9(n-16)=0
⇒(n-9)(n-16)=0
⇒ n = 9 o 16