Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 9 Secuencias y series – Ejercicio 9.4

Encuentra la suma en n términos de cada una de las series en los ejercicios 1 a 7.

Pregunta 1. 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + …

Solución:

Dado: Serie = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + …

Para encontrar el enésimo término, tenemos

enésimo término, un ^{norte =}_norte ( norte + 1)

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^n_{k=1}k(k+1)\\ =\sum^n_{k=1}k^2+\sum^n_{k=1}k\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+1}{3}+1\right)\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left(\frac{2n+4}{3}\right)\\ =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Pregunta 2. 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …

Solución:

Dado: Serie = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …

Para encontrar el enésimo término, tenemos

n ^-ésimo término, un _norte = n(n + 1)(n + 2)

= (n ² + n) (n + 2)

= n ³ + 3n ² + 2n

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k\\ =\sum^n_{k=1}k^3+3\sum^n_{k=1}k^2+2\sum^n_{k=1}k\\ =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{3n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{2n(n+1)}{2}\\ =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+n(n+1)\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+2n+1+2\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+n+4n+6}{2}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{4}(n^2+5n+6)\\ =\frac{n(n+1)}{4}(n^2+2n+3n+6)\\ =\frac{n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]}{4}\\ =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

Pregunta 3. 3 × 1 ² + 5 × 2 ² + 7 × 3 ² + …

Solución:

Dado: Serie = 3 × 1 ² + 5 × 2 ² + 7 × 3 ² + …

Para encontrar el enésimo término, tenemos

enésimo término, un ^{norte = (}_2n + 1) norte ² = 2n ³ + norte ²

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k\\ =\sum^n_{k=1}(2k^3+k^2)=2\sum^n_{k=1}k^3+\sum^n_{k=1}k^2\\ =2\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =\frac{n^2(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[n(n+1)+\frac{2n+1}{3}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+2n+1}{3}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+5n+1}{3}\right]\\ =\frac{n(n+1)(3n^2+5n+1)}{6}$

Pregunta 4. Encuentra la suma de n términos de la serie

$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+....$

Solución:

Dado: Serie = $\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+....$

Para encontrar el enésimo término, tenemos

n ^-ésimo término a _n = $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (Por fracciones parciales)

$a_1=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\ a_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ a_3=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...\\ a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Entonces, al sumar los términos anteriores en columnas, obtenemos

$a_1+a_2+...+a_n=\left[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....\frac{1}{n}\right]-\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\frac{1}{n+1}\right]\\ \therefore S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

Pregunta 5. Encuentra la suma de n términos de la serie 5 ² + 6 ² + 7 ² + … + 20 ²

Solución:

Dado: Serie = 5 ² + 6 ² + 7 ² + … + 20 ²

Para encontrar el enésimo término, tenemos

n ^-ésimo término, a _n = (n + 4) ² = n ² + 8n + 16

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^n_{k=1}(k^2+8k+16)\\ =\sum^n_{k=1}k^2+8\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}16\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{8n(n+1)}{2}+16n$

^{El término} 16 es (16 + 4) = 20 ²

$S_{16}=\frac{16(16+1)(2\times16+1)}{6}+\frac{8\times16\times(16+1)}{2}+16\times16\\ =\frac{(16)(17)(33)}{6}+\frac{(8)\times(16)\times(16+1)}{2}+16\times16\\$

= 1496 + 1088 + 256

= 2840

Entonces, 5 ² + 6 ² + 7 ² + …..+ 20 ² = 2840

Pregunta 6. Encuentra la suma en n términos de la serie 3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 +…

Solución:

Dado: Serie = 3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 + …

Para encontrar el enésimo término, tenemos

a _n = (n ^-ésimo término de 3, 6, 9…) × (n ^-ésimo término de 8, 11, 14,…)

= (3n) (3n + 5)

= 9n ² + 15n

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^n_{k=1}(9k^2+15k)\\ =9\sum^n_{k=1}k^2+15\sum^n_{k=1}k\\ =9\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+15\times\frac{15n(n+1)}{2}\\ =\frac{3n(n+1)}{2}(2n+1+5)\\ =\frac{3n(n+1)}{2}(2n+6)$

= 3n(n+1)(n+3)

Pregunta 7. Encuentra la suma de n términos de la serie 1 ² + (1 ² + 2 ² ) + (1 ² + 2 ² + 3 ² ) + …

Solución:

Dado: Serie = 1 ² + (1 ² + 2 ² ) + (1 ² + 2 ² + 3 ²⁾ + …

Para encontrar el enésimo término, tenemos

un _norte = (1 ² + 2 ² + 3 ² +…….+ norte ² )

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}\\ =\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ =\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k\\ =\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{3}k^3+\frac{1}{2}k^2+\frac{1}{6}k\right)\\ =\frac{1}{3}\sum^n_{k=1}k^3+\frac{1}{2}\sum^n_{k=1}k^2+\frac{1}{6}\sum^n_{k=1}k\\ =\frac{1}{3}\frac{n^2(n+1)^2}{(2)^2}+\frac{1}{2}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{6}\times\frac{n(n+1)}{2}\\ =\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(2n+1)}{2}+\frac{1}{2}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{n^2+n+2n+2}{2}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]\\ =\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

Pregunta 8. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n ^-ésimo término está dado por n (n + 1) (n + 4).

Solución:

Dado: a _n = n (n + 1) (n + 4) = n(n ² + 5n + 4) = n ³ + 5n ² + 4n

Ahora, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^n_{k=1}k^3+5\sum^n_{k=1}k^2+4\sum^n_{k=1}\\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{5n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{4n(n+1)}{2}\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{5(2n+1)}{3}+4\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+20n+10+24}{6}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+23n+34}{6}\right]\\ =\frac{n(n+1)(3n^2+23n+34)}{12}$

Pregunta 9. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n-ésimo término está dado por n ² + 2 ⁿ

Solución:

Dado: n ^-ésimo término de la serie como:

un _norte = norte ² + 2 ^norte

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}k^2+2^k=\sum^n_{k=1}k^2+\sum^n_{k=1}2^k\ \ \ \ \ \ (1)$

$\displaystyle\sum^n_{k=1}2^k=2^1+2^2+2^3+......$

Ahora, la serie anterior 2, 2 ² , 2 ³ ….. es GP

y el primer término y razón común es igual a 2.

$\therefore\displaystyle\sum^n_{k=1}2^k=\frac{(2)[(2)^n-1]}{2-1}=2(2^n-1)\ \ \ \ \ (2)$

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}k^2+2(2^n-1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2(2n-1)$

Pregunta 10. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n ^-ésimo término está dado por (2n – 1) ²

Solución:

Dado: n ^-ésimo término de la serie como:

un _norte = (2n – 1) ² = 4n ² – 4n + 1

Entonces, la suma de n términos de la serie:

$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k=\sum^n_{k=1}(4k^2-4k+1)\\ =4\sum^n_{k=1}-4\sum^n_{k+1}k+\sum^n_{k=1}1\\ =\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{4n(n+1)}{2}+n\\ =\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n\\ =n\left[\frac{2(2n^2+3n+1)}{3}-2(n+1)+1\right]\\ =n\left[\frac{4n^2+6n+2-6n-6+3}{3}\right]\\ =n\left[\frac{4n^2-1}{3}\right]\\ =\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por sudhasinghsudha90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Encuentra la suma en n términos de cada una de las series en los ejercicios 1 a 7.

Pregunta 1. 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + …

Pregunta 2. 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + …

Pregunta 3. 3 × 1 2 + 5 × 2 2 + 7 × 3 2 + …

Pregunta 4. Encuentra la suma de n términos de la serie

Pregunta 5. Encuentra la suma de n términos de la serie 5 2 + 6 2 + 7 2 + … + 20 2

Pregunta 6. Encuentra la suma en n términos de la serie 3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 +…

Pregunta 7. Encuentra la suma de n términos de la serie 1 2 + (1 2 + 2 2 ) + (1 2 + 2 2 + 3 2 ) + …

Pregunta 8. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n -ésimo término está dado por n (n + 1) (n + 4).

Pregunta 9. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n-ésimo término está dado por n 2 + 2 n

Pregunta 10. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n -ésimo término está dado por (2n – 1) 2

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Pregunta 3. 3 × 1 ² + 5 × 2 ² + 7 × 3 ² + …

Pregunta 5. Encuentra la suma de n términos de la serie 5 ² + 6 ² + 7 ² + … + 20 ²

Pregunta 7. Encuentra la suma de n términos de la serie 1 ² + (1 ² + 2 ² ) + (1 ² + 2 ² + 3 ² ) + …

Pregunta 8. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n ^-ésimo término está dado por n (n + 1) (n + 4).

Pregunta 9. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n-ésimo término está dado por n ² + 2 ⁿ

Pregunta 10. Encuentra la suma de n términos de la serie cuyo n ^-ésimo término está dado por (2n – 1) ²