Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.5

Pregunta 1. Sean U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Encontrar:

(a) A’

Solución:

Sabemos que este es el complemento del conjunto A, es decir, es el subconjunto de U.

Entonces, A’ = {5, 6, 7, 8, 9}

(b) B’

Solución:

Sabemos que este es el complemento del conjunto B, es decir, es el subconjunto de U.

Entonces, B’ = {1, 3, 5, 7, 9}

(c) (A ∪ C)’

Solución:

Este es el complemento de la unión del conjunto A y el conjunto C, es decir, U – (A∪ C)

Entonces, A∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

=> U – (A ∪ C)

Entonces, ( A∪ C)’ = {7, 8, 9}

(d) (A ∪ B)’

Solución:

Este es el complemento de la unión del conjunto A y el conjunto B, es decir, U- (A∪B)

Entonces, A∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

=> U – (A ∪ B)

Entonces, (A ∪ B)’ = {5, 7, 9}

(e) (A’)’

Solución:

Este es el complemento del conjunto A, es decir, (A’)’ = A

Entonces, (A’)’ = {1, 2, 3, 4}

(f) (B – C)’

Solución:

(B – C) = elementos en B pero no en C

(B – C) = {2, 8}

=> U – (B – C)

Entonces, (B – C)’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

Pregunta 2. Si U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, encuentre los complementos de los siguientes conjuntos:

(a) A = {a, b, c}

Solución:

Complemento del conjunto A = A’

A’ = U – A

A’ = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c}

A’ = {d, e, f, g, h}

(b) B = {d, e, f, g}

Solución:

Complemento del conjunto B = B’

B’ = U – B

B’ = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {d, e, f, g}

B’ = {a, b, c, h}

(c) C = {a, c, e, g}

Solución:

Complemento del conjunto C = C’

C’ = U – C

C’ = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, c, e, g}

C’ = {b, d, f, h}

(d) D = {f, g, h, a}

Solución:

Complemento del conjunto D = D’

D’ = U – D

D’ = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {f, g, h, a}

D’ = {b, c, d, e}

Pregunta 3. Tomando como conjunto universal el conjunto de los números naturales, anota los complementos de los siguientes conjuntos:

U = N: conjunto de números naturales

(a) {x : x es un número natural par}

=> {x : x es un número natural impar}

(b) {x : x es un número natural impar}

=> {x : x es un número natural par}

(c) {x : x es un múltiplo positivo de 3}

=> {x : x∈N y x no es múltiplo de 3}

(d) {x : x es un número primo}

=> {x : x es un número compuesto positivo y x=1}

(e) {x : x es un número natural divisible por 3 y 5}

=> {x : x es un número natural que no es divisible por 3 ni por 5}

(f) {x : x es un cuadrado perfecto}

=> {x : x∈N y x no es un cuadrado perfecto}

(g) {x : x es un cubo perfecto}

=> {x : x∈N y x no es un cubo perfecto}

(h) {x : x + 5 = 8}

=> {x: x∈N y x≠3}

(yo) {x : 2x + 5 = 9}

=> {x: x∈N y x≠2}

(j) {x : x ≥ 7}

=> {x: x∈N y x<7}

(k) {x : x ∈ N y 2x + 1 > 10}

=> {x: x∈N y x≤ 9/2}

Pregunta 4. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} y B = {2, 3, 5, 7}. Comprueba eso

(a) (A ∪ B)’= A’ ∩ B’

Solución:

=> (A ∪ B)’= U – (A∪B)

=> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

=> (A∪B)’ = {1, 9}

A’ ∩ B’ = (U – A) ∩ (U – B)

=> {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9}

=> A’ ∩ B’ = {1, 9}

Por lo tanto, Verificado!!! (A∪ B)’ = A’ ∩ B’

(b) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

=> (A ∩ B)’ = U – (A ∩ B)

=> {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2}

=> (A ∩ B)′ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A’ ∪ B’= (U – A) ∪ (U – B)

=> {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9}

=> A′ ∪ B′ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por lo tanto, Verificado!!! (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

Pregunta 5. Dibuje el diagrama de Venn apropiado para cada uno de los siguientes: 

(a) (A ∪ B)′= 

(b) A’ ∩ B’

c) (A ∩ B)′

  

(d) A′ ∪ B′

 

 

Pregunta 6. Sea U el conjunto de todos los triángulos en un plano. Si A es el conjunto de todos los triángulos con al menos un ángulo diferente de 60°, ¿cuál es A′?

Solución: 

U = conjunto de todos los triángulos en el plano

A = conjunto de todos los triángulos con al menos un ángulo diferente de 60°

A’ = conjunto de todos los triángulos sin ángulo diferente de 60°, es decir, conjunto de todos los triángulos con todos los ángulos de 60°

A’ es el conjunto de todos los triángulos equiláteros.

Pregunta 7. Complete los espacios en blanco para que cada uno de los siguientes enunciados sea verdadero:

Solución: 

(a) A ∪ A′ = U

(b) ∅′ ∩ A = A

(c) A ∩ A′ = ∅

(d) U′ ∩ A =.∅