Soluciones NCERT de clase 11 – Capítulo 8 Teorema del binomio – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 8

Pregunta 1. Encuentra a, b y n en la expansión de (a + b) ⁿ si los primeros tres términos de la expansión son 729, 7290 y 30375, respectivamente.

Soluciones:

Como sabemos que (r+1) ^el término de (a+b) ⁿ se denota por,

T _r+1 = ^norte C _r un ^norte-r segundo ^r

Aquí, se da que los primeros tres términos de la expansión son 729, 7290 y 30375.

Cuando, T ₁ = 729, T ₂ = 7290 y T ₃ = 30375

T ₀₊₁ (r=0) = ^norte C ₀ un ^norte-0 segundo ⁰ = un ^norte = 729 …………………(1)

T ₁₊₁ (r=0) = ^norte C ₁ un ^n-1 segundo ¹ = na ^n-1 segundo = 7290 …………………(2)

T ₂₊₁ (r=0) = ⁿ C ₂ a ^n-2 b ² = $\frac{n!}{2!(n-2)!}$ a ^n-2 b ² = $\frac{n(n-1)a^{n-2}b^2}{2}$ = 30375 …………………(3)

Dividiendo (1) y (2), obtenemos

$\frac{na^{n-1} b}{a^n} = \frac{7290}{729}$

na ^n-1-n b = 10

$\frac{nb}{a}$ = 10 ……………………….(I)

Ahora, dividiendo (3) y (2), obtenemos

$\frac{\frac{n(n-1)a^{n-2}b^2}{2}}{na^{n-1} b} = \frac{30375}{7290}$

$\frac{(n-1)b}{2a} = \frac{30375}{7290}$

$\frac{nb-b}{a} = \frac{25}{3}$

$\frac{nb}{a} - \frac{b}{a} = \frac{25}{3}$

De (I), podemos sustituir

$10 - \frac{b}{a} = \frac{25}{3}$

$\frac{b}{a}$ = 10 – $\frac{25}{3}$

$\frac{b}{a} = \frac{30-25}{3} = \frac{5}{3}$ ………………….(II)

Sustituyendo (II) en (I), obtenemos

$\frac{nb}{a}$ = 10

$n(\frac{5}{3})$ = 10

norte = $\frac{10 \times3}{5}$

norte = 6

Sustituyendo n = 6 en (1), obtenemos

un ⁿ = 729

un ⁶ = 729

un = 3

Sustituyendo a = 3 en (II), obtenemos

$\frac{b}{a} = \frac{5}{3}$

segundo = $\frac{5\times3}{3}$

b = 5

Por lo tanto, a = 3, b = 5 y n = 6

Pregunta 2. Encuentra a si los coeficientes de x ² y x ³ en la expansión de (3 + ax) ⁹ son iguales.

Soluciones:

Como sabemos que (r+1) ^el término de (a+b) ⁿ se denota por,

T _r+1 = ^norte C _r un ^norte-r segundo ^r

Aquí, a = 3 y b = ax y n = 9.

T _r+1 = ⁹ C _r 3 ^9-r (ax) ^r

V _r+1 = ⁹ C _r $(\frac{3^9}{3^r})$ un ^r x ^r

T _r+1 = ⁹ C _r $(\frac{3^9 \times a^r}{3^r}) x^r$

Entonces, aquí si quieres la potencia de x ² y x ³ . Entonces r=2 y r=3.

r = 2, T _{2+1 =} $[^9C_2 (\frac{3^9 \times a^2}{3^2})] x^2$

r = 3, T ₃₊₁ = $[^9C_3 (\frac{3^9 \times a^3}{3^3})] x^3$

Coeficiente de x ² = Coeficiente de x ³

$^9C_2 (\frac{3^9 \times a^2}{3^2}) = ^9C_3 (\frac{3^9 \times a^3}{3^3})$

$\frac{9!}{2! (9-2)!} \times \frac{3^9 \times a^2}{3^2} = \frac{9!}{3! (9-3)!} \times \frac{3^9 \times a^3}{3^3}$

$\frac{1}{2! (9-2)!} \times \frac{a^2}{3^2} = \frac{1}{3! (9-3)!} \times \frac{a^3}{3^3}$

$\frac{3! (9-3)!}{2! (9-2)!} = \frac{a^3 \times 3^2}{a^2 \times 3^3}$

$\frac{a}{3} = \frac{3! 6!}{2! 7!}$

$\frac{a}{3} = \frac{3}{7}$

un = $\frac{3\times 3}{7} = \frac{9}{7}$

Por lo tanto, a = $\frac{9}{7}$

Pregunta 3. Encuentra el coeficiente de x ⁵ en el producto (1 + 2x) ⁶ (1 – x) ⁷ usando el teorema del binomio.

Soluciones:

Para obtener el coeficiente de x ⁵ , expandamos ambos binomios para una comprensión más clara.

(1 + 2x) ⁶ = ⁶ C ₀ + ⁶ C ₁ (2x) + ⁶ C ₂ (2x) ² + ⁶ C ₃ (2x) ³ + ⁶ C ₄ (2x) ⁴ + ⁶ C ₅ (2x) ⁵ + ⁶ C ₆ (2x) ⁶

= 1 + 6 (2x) + 15 (2x) ² + 20 (2x) ³ + 15 (2x) ⁴ + 6 (2x) ⁵ + (2x) ⁶

^{= 1 +} 12x + 60x ²⁺ 160×3 + 240×4 + 192×5 ⁺ 64x ⁶

(1 – x) ⁷ = ⁷ C ₀ – ⁷ C ₁ (x) + ⁷ C ₂ (x) ² – ⁷ C ₃ (x) ³ + ⁷ C ₄ (x) ⁴ – ⁷ C ₅ (x) ⁵ + ⁷ C ₆ (x) ⁶ – ⁷ C ₇ (x) ⁷

= 1 – 7x + 21x ² – 35x ³ + 35x ⁴ – 21x ⁵ + 7x ⁶ – x ⁷

Ahora, el producto se verá de la siguiente manera

(1 + 2x) ⁶ (1 – x) ⁷ = (1 + 12 x + 60x ² + 160 x ³ + 240 x ⁴ + 192 x ⁵ + 64x ⁶ ) (1 – 7x + 21x ² – 35x ³ + 35x ⁴ – 21x ⁵ + 7x ⁶ – x ⁷ )

Aquí, lo que podemos ver es que x ⁵ se obtendrá cuando se multipliquen dos términos que tienen la suma de potencias de x como 5. Esos dos términos quedarán de la siguiente manera:

primer binomio segundo binomio

1er término ^_ 6to ^término _

2do término ^_ 5to ^término _

3er término ^_ 4to ^término _

4to ^término _ 3er término ^_

5to ^término _ 2do término ^_

6to ^término _ 1er término ^_

Asi que,

Coeficiente de x ⁵ = (1)(-21) + (12)(35) + (60)(-35) + (160)(21) + (240)(-7) + (192)(1)

Coeficiente de x ^{5 =} -21 + 420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192

Coeficiente de x ⁵ = -21 + 420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192

Coeficiente de x ⁵ = 171

Por lo tanto, el coeficiente de x ⁵ en la expresión (1+2x) ⁶ (1-x) ⁷ es 171.

primer binomio	segundo binomio
1er término ^_	6to ^término _
2do término ^_	5to ^término _
3er término ^_	4to ^término _
4to ^término _	3er término ^_
5to ^término _	2do término ^_
6to ^término _	1er término ^_

Pregunta 4. Si a y b son enteros distintos, probar que a – b es factor de a ⁿ – b ⁿ , siempre que n sea un entero positivo.

[Sugerencia escriba an = (a – b + b) ⁿ y expanda]

Soluciones:

Para probar que (a – b) es un factor de (a ⁿ – b ⁿ ),

a ⁿ – b ⁿ = k (a – b) donde k es un número natural o constante.

a se puede escribir como = a – b + b

un ^norte = (a – b + b) ^norte = [(a – b) + b] ^norte

[(a – b) + b] ^norte = ^norte C ₀ (a – b) ^norte + ^norte C ₁ (a – b) ^n-1 segundo + ………. ^norte C _n-1 (a – b)b ^n-1 + ^norte C _norte^segundo norte

un ^norte = (a – b) ^norte + norte (a – b) ^n-1 b + ………. ^norte C _n-1 (a – b)b ^n-1 + b ^norte

Ahora, a ⁿ – b ⁿ será

un ^norte – segundo ^norte = [(a – b) ^norte + norte (a – b) ^n-1 segundo + ………. ⁿ C _n-1 (a – b)b ^n-1 + b ⁿ ] – b ⁿ

un ^norte – segundo ^norte = (a – b) ^norte + norte (a – b) ^n-1 segundo + ………. ⁿ C _n-1 (a – b)b ^n-1

Tomando (ab) común, tenemos

un norte ^– segundo ^norte = (a – b) [(a –b) ^n-1 + norte (a – b) ^n-2 b + …… + ^norte C _n-1 b ^n-1 ]

un ^norte – segundo ^norte = (a – b) k

Donde k = [(a –b) ^n-1 + n (a – b) ^n-2 b + …… + ⁿ C _n-1 b ^n-1 ] es un número natural

Por tanto, se prueba que a – b es un factor de a ⁿ – b ⁿ , donde n es un entero positivo

Pregunta 5. Evaluar.

Soluciones:

Usando el teorema del binomio, la expresión (a + b) ⁶ y (a – b) ⁶ , se puede expandir de la siguiente manera:

(a + b) ⁶ = ⁶ C0 a ⁶ + ⁶ C ₁ a ⁵ b + ⁶ C ₂ a ⁴ b ² + ⁶ C ₃ a ³ b ³ + ⁶ C ₄ a ² b ⁴ + ⁶ C ₅ ab ⁵ + ⁶ do ₆ segundo ⁶

(a – b) ⁶ = ⁶ C ₀ a ⁶ – ⁶ C ₁ a ⁵ b + ⁶ C ₂ a ⁴ b ² – ⁶ C ₃ a ³ b ³ + ⁶ C ₄ a ² b ⁴ – ⁶ C ₅ ab ⁵ + ⁶ C ₆ b ⁶

Ahora agregándolos,

(a + b) ⁶ – (a – b) ⁶ = ⁶ C ₀ a ⁶ + ⁶ C ₁ a ⁵ b + ⁶ C ₂ a ⁴ b ² + ⁶ C ₃ a ³ b ³ + ⁶ C ₄ a ² b ⁴ + ⁶ C ₅ ab ⁵ + ⁶ C ₆ b ⁶ – [ ⁶ C ₀ a ⁶– ⁶ C ₁ a ⁵ b + ⁶ C ₂ a ⁴ b ² – ⁶ C ₃ a ³ b ³ + ⁶ C ₄ a ² b ⁴ – ⁶ C ₅ ab ⁵ + ⁶ C ₆ b ⁶ ]

(a + b) ⁶ – (a – b) ⁶ = 2[ ⁶ C ₁ a ⁵ b + ⁶ C ₃ a ³ b ³ + ⁶ C ₅ ab ⁵ ]

Sustituyendo a = √3 y b = √2, obtenemos

(√3 + √2) ⁶ – (√3 – √2) ⁶ = 2 [6 (√3) ⁵ (√2) + 20 (√3) ³ (√2) ³ + 6 (√3) (√ 2) ⁵ ]

= 2 [54(√6) + 120 (√6) + 24 √6]

= 2 (√6) (198)

= 396 √6

Pregunta 6. Encuentra el valor de $(a^2 + \sqrt{a^2-1})^4 + (a^2 - \sqrt{a^2-1})^4$ .

Soluciones:

Usando el teorema del binomio, la expresión (x+y) ⁴ y (x – y) ⁴ , se puede expandir de la siguiente manera:

(x + y) ⁴ = ⁴ C ₀ x ⁴ + ⁴ C ₁ x ³ y + ⁴ C ₂ x ² y ² + ⁴ C ₃ xy ³ + ⁴ C ₄ y ⁴

(x – y) ⁴ = ⁴ C ₀ x ⁴ – ⁴ C ₁ x ³ y + ⁴ C ₂ x ² y ² – ⁴ C ₃ xy ³ + ⁴ C ₄ y ⁴

Ahora agregándolos,

(x + y) ⁴ + (x – y) ⁴ = ⁴ C ₀ x ⁴ + ⁴ C ₁ x ³ y + ⁴ C ₂ x ² y ² + ⁴ C ₃ xy ³ + ⁴ C ₄ y ⁴ + [ ⁴ C ₀ x ⁴ – ⁴ C ₁ x ³ y + ⁴ C ₂ x ² y ² –⁴ C ₃ xy ³ + ⁴ C ₄ y ⁴ ]

(x + y) ⁴ + (x – y) ⁴ = 2[ ⁴ C ₀ x ⁴ + ⁴ C ₂ x ² y ² + ⁴ C ₄ y ⁴ ]

Sustituyendo x = a ² y y = $\sqrt{a^2-1}$ , obtenemos

$(a^2 + \sqrt{a^2-1})^4 + (a^2 - \sqrt{a^2-1})^4 = 2[(a^2)^4 +6 (a^2)^2 (\sqrt{a^2-1})^2 + (\sqrt{a^2-1})^4]$

= 2[a ⁸ + 6a ⁴ (a ² -1) + (a ² -1) ² ]

= 2[a ⁸ + 6a ⁶ – 6a ⁴ + (a ⁴ + 1 – 2(a ² )(1))]

= 2[a ⁸ + 6a ⁶ – 6a ⁴ + a ⁴ + 1 – 2a ² ]

= 2a ⁸ + 12a ⁶ – 10a ⁴ – 4a ² + 2

Pregunta 7. Encuentra una aproximación de (0.99) ⁵ usando los primeros tres términos de su desarrollo.

Soluciones:

Para hacer 0.99 en forma binomial,

0,99 = 1 – 0,01

Ahora, aplicando el teorema del binomio, obtenemos

(0. 99) ⁵ = (1 – 0.01) ⁵

Tomando los primeros tres términos de su expansión, tenemos

= ⁵ C ₀ (1) ⁵ – ⁵ C ₁ (1) ⁴ (0.01) + ⁵ C ₂ (1) ³ (0.01) ²

= 1 – 5 (0,01) + 10 (0,01) ²

= 1 – 0,05 + 0,001

= 0,951

Aproximación de (0,99) ⁵ = 0,951.

Pregunta 8. Encuentra n, si la razón del quinto término desde el principio al quinto término desde el final en la expansión de $(\sqrt[4]{2} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n$ es √6:1.

Soluciones:

Como, aquí se dice que tenemos que calcular

(Quinto término desde el principio: Quinto término desde el final) del Binomio = $(\sqrt[4]{2} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n$

En lugar de tomar el quinto término desde el final, invirtamos el término binomial y tomémoslo desde el principio.

Quinto término desde el final del binomio $(\sqrt[4]{2} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n$ = Quinto término desde el principio $(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}+ \sqrt[4]{2})^n$

Avancemos más con esto

Como sabemos que (r+1) ^el término de (a+b) ⁿ se denota por,

T _r+1 = ⁿ Cr a ^n-r b ^r

Quinto término desde el principio de $(\sqrt[4]{2} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n$ ,

T ₅ = T ₄₊₁ = ^norte C ₄ $(\sqrt[4]{2})^{n-4} (\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^4$

T ₅ = ^norte C ₄ $(\sqrt[4]{2})^n(\frac{1}{\sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{3}})^4$

T ₅ = ^norte C ⁴ $(\sqrt[4]{2})^n (\frac{1}{2 \times 3})$

T ₅ = ⁿ C ₄ $(\frac{(\sqrt[4]{2})^n}{6})$ …………………………….(1)

Ahora, Quinto término desde el principio de $(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}+ \sqrt[4]{2})^n$ ,

T ₅ = T ₄₊₁ = ^norte C ₄ $(\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^{n-4} (\sqrt[4]{2})^4$

T ₅ = ^norte C ₄ $\times \frac{(\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n}{(\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^4} \times (2)$

T ₅ = ^norte C ₄ $\frac{(\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n}{(\frac{1}{3})} (2)$

T ₅ = ^norte C ₄ $(\frac{3}{(\sqrt[4]{3})^n}) (2)$

T ₅ = ⁿ C ₄ $(\frac{6}{(\sqrt[4]{3})^n})$ ……………………….(2)

Ahora tomando la relación de (1) y (2), que es igual a √6:1

$\frac{^nC_4 (\frac{(\sqrt[4]{2})^n}{6})}{^nC_4 (\frac{6}{(\sqrt[4]{3})^n})} = \sqrt{6}$

$\frac{(\sqrt[4]{2})^n \times (\sqrt[4]{3})^n}{(6\times 6)} = \sqrt{6}$

$(\sqrt[4]{6})^n = \sqrt{6} \times 36$

$6^{\frac{n}{4}} = 6^{\frac{5}{2}}$

$\frac{n}{4} = \frac{5}{2}$

norte = $\frac{5\times 4}{2}$

norte = 10

Pregunta 9. Expande usando el teorema del binomio $(1+\frac{x}{2} - \frac{2}{x})^4$ , x≠0.

Soluciones:

Agrupando $(1+\frac{x}{2} - \frac{2}{x})^4$ en forma binomial, tenemos

$[(1+\frac{x}{2}) - \frac{2}{x}]^4$

Comparándolo con (a+b) ⁿ ,

a = $(1+\frac{x}{2})$ , b = $\frac{2}{x}$ y n = 4

$[(1+\frac{x}{2}) - \frac{2}{x}]^4$ = ⁴ C ₀ $(1+\frac{x}{2})^4$ – ⁴ C ₁ $(1+\frac{x}{2})^3 (\frac{2}{x})$ + ⁴ C ₂ $(1+\frac{x}{2})^2 (\frac{2}{x})^2$ – ⁴ C ₃ $(1+\frac{x}{2}) (\frac{2}{x})^3$ + ⁴ C ₄ $(\frac{2}{x})^4$

= $(1+\frac{x}{2})^4 - 4 (1+\frac{x}{2})^3 (\frac{2}{x}) + 6 (1+(\frac{x}{2})^2 (\frac{4}{x^2}) - 4 (1+\frac{x}{2}) (\frac{8}{x^3}) + (\frac{16}{x^4})$

= $(1+\frac{x}{2})^4 - (\frac{8}{x}) (1+\frac{x}{2})^3 + (\frac{24}{x^2}) (1+\frac{x}{2})^2 - 4 (\frac{8}{x^3} + (\frac{x}{2})(\frac{8}{x^3})) + (\frac{16}{x^4})$

= $(1+\frac{x}{2})^4 - (\frac{8}{x}) (1+\frac{x}{2})^3 + (\frac{24}{x^2}) (1+\frac{x}{2})^2 - 4 (\frac{8}{x^3} + \frac{4}{x^2}) + (\frac{16}{x^4})$

Ahora, obtengamos el valor de $(1+\frac{x}{2})^4, (1+\frac{x}{2})^3$ y $(1+\frac{x}{2})^2$

$(1+\frac{x}{2})^2 = 12 + (\frac{x}{2})^2 + 2(1)(\frac{x}{2})$

$(1+\frac{x}{2})^2 = 1 + \frac{x^2}{4} + x$

$(1+\frac{x}{2})^3$ = ³ C ₀ (1) ³ + ³ C ₁ (1) ² $(\frac{x}{2})$ + ³ C ₂ (1) $(\frac{x}{2})^2$ + ³ C ₃ $(\frac{x}{2})^3$

$(1+\frac{x}{2})^3 = 1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8}$

$(1+\frac{x}{2})^4$ = ⁴ C ₀ (1) ⁴ + ⁴ C ₁ (1) ³ $(\frac{x}{2})$ + ⁴ C ₂ (1) ² $(\frac{x}{2})^2$ + ⁴ C ₃ (1) $(\frac{x}{2})^3$ + ⁴ C ₄ $(\frac{x}{2})^4$

$(1+\frac{x}{2})^4 = 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16}$

Ahora, sustituyendo estos valores en la ecuación principal, obtenemos

= $1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - (\frac{8}{x}) (1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8}) + (\frac{24}{x^2}) (1 + \frac{x^2}{4} + x) - 4 (\frac{8}{x^3} + \frac{4}{x^2}) + (\frac{16}{x^4})$

= $1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - (\frac{8}{x} + (\frac{8}{x})(\frac{3x}{2}) + (\frac{8}{x})(\frac{3x^2}{4}) + (\frac{8}{x})(\frac{x^3}{8})) + (\frac{24}{x^2} + (\frac{24}{x^2})(\frac{x^2}{4}) + (\frac{24}{x^2}) (x)) - (\frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^2}) + (\frac{16}{x^4})$

= $1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - \frac{8}{x} - 12 - 6x - x^2 + \frac{24}{x^2} + 6+ \frac{24}{x} - \frac{32}{x^3} - \frac{16}{x^2}) + (\frac{16}{x^4})$

= $\frac{16}{x} + \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4} - 4x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - 5$

Pregunta 10. Encuentra la expansión de (3x ² – 2ax + 3a ² ) ³ usando el teorema del binomio.

Soluciones:

Agrupando (3x ² – 2ax + 3a ² ) ³ en forma binomial, tenemos

[3x ² + (- 2ax + 3a ² )] ³

Comparándolo con (a+b) ⁿ ,

a = 3x ² , b = -a (2x-3a) y n = 3

[3x ² + (-a (2x-3a))] ³

= ³ C ₀ (3x ² ) ³ + ³ C ₁ (3x ² ) ² (-a (2x-3a)) + ³ C ₂ (3x ² ) (-a (2x-3a)) ² + ³ C ₃ ( -a (2x-3a)) ³

= 27x ⁶ + 3 (9x ⁴ ) (-a) (2x-3a) + 3 (3x ² ) (-a) ² (2x-3a) ² + (-a) ³ (2x-3a) ³

= 27x ⁶ + (-54ax ⁵ + 81a ² x ⁴ ) + 9a ² x ² (2x-3a) ² – a ³ (2x-3a) ³

Ahora, obtengamos el valor de (2x-3a) ² y (2x-3a) ³ .

(2x-3a) ² = (2x) ² + (3a) ² – 2(2x)(3a)

(2x-3a) ² = 4x ² + 9a ² -12xa

(2x-3a) ³ = (2x) ³ – (3a) ³ – 3(2x)(3a)(2x-3a)

(2x-3a) ³ = 8x ³ – 27a ³ – 36x ² a +54xa ²

Ahora, sustituyendo estos valores en la ecuación principal, obtenemos

= 27x ⁶ – 54ax ⁵ + 81a ² x ⁴ + 9a ² x ² (4x ² + 9a ² -12xa) – a ³ (8x ³ – 27a ³ – 36x ² a + 54xa ² )

= 27x ⁶ – 54ax ⁵ + 81a ² x ⁴ + 36a ² x ⁴ + 81a ⁴ x ² -108x ³ a ³ – (8a ³ x ³ – 27a ⁶ – 36x ² a ⁴ + 54xa ⁵⁾

= 27x ⁶ – 54ax ⁵ + 117a ² x ⁴ + 81a ⁴ x ² -108x ³ a ³ – 8a ³ x ³ + 27a ⁶ + 36x ² a ⁴ – 54xa ⁵

= 27x ⁶ – 54ax ⁵ + 117a ² x ⁴ – 116a ³ x ³ + 117a ⁴ x ² – 54a ⁵ x + 27a ⁶

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra a, b y n en la expansión de (a + b) n si los primeros tres términos de la expansión son 729, 7290 y 30375, respectivamente.

Pregunta 2. Encuentra a si los coeficientes de x 2 y x 3 en la expansión de (3 + ax) 9 son iguales.

Pregunta 3. Encuentra el coeficiente de x 5 en el producto (1 + 2x) 6 (1 – x) 7 usando el teorema del binomio.

Pregunta 4. Si a y b son enteros distintos, probar que a – b es factor de a n – b n , siempre que n sea un entero positivo.

[Sugerencia escriba an = (a – b + b) n y expanda]

Pregunta 5. Evaluar.

Pregunta 6. Encuentra el valor de .

Pregunta 7. Encuentra una aproximación de (0.99) 5 usando los primeros tres términos de su desarrollo.

Pregunta 8. Encuentra n, si la razón del quinto término desde el principio al quinto término desde el final en la expansión de es √6:1.

Pregunta 9. Expande usando el teorema del binomio , x≠0.

Pregunta 10. Encuentra la expansión de (3x 2 – 2ax + 3a 2 ) 3 usando el teorema del binomio.

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Pregunta 1. Encuentra a, b y n en la expansión de (a + b) ⁿ si los primeros tres términos de la expansión son 729, 7290 y 30375, respectivamente.

Pregunta 2. Encuentra a si los coeficientes de x ² y x ³ en la expansión de (3 + ax) ⁹ son iguales.

Pregunta 3. Encuentra el coeficiente de x ⁵ en el producto (1 + 2x) ⁶ (1 – x) ⁷ usando el teorema del binomio.

Pregunta 4. Si a y b son enteros distintos, probar que a – b es factor de a ⁿ – b ⁿ , siempre que n sea un entero positivo.

[Sugerencia escriba an = (a – b + b) ⁿ y expanda]

Pregunta 6. Encuentra el valor de $(a^2 + \sqrt{a^2-1})^4 + (a^2 - \sqrt{a^2-1})^4$ .

Pregunta 7. Encuentra una aproximación de (0.99) ⁵ usando los primeros tres términos de su desarrollo.

Pregunta 8. Encuentra n, si la razón del quinto término desde el principio al quinto término desde el final en la expansión de $(\sqrt[4]{2} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}})^n$ es √6:1.

Pregunta 9. Expande usando el teorema del binomio $(1+\frac{x}{2} - \frac{2}{x})^4$ , x≠0.

Pregunta 10. Encuentra la expansión de (3x ² – 2ax + 3a ² ) ³ usando el teorema del binomio.